Prueba

Question

Deje que$X,Y$ sean campos vectoriales. $L_X$ es el derivado de Lie y$i_X$ es la contracción de una forma$k$ -.

Estoy realmente atascado en cómo podría probar la identidad$[L_X,i_Y]=[i_X,L_Y]=i_{[X,Y]}$.

Actualización: Tengo la definición$L_X \omega = \frac{\partial}{\partial t}|_{t=0} \Phi_t^* \omega$, donde$\Phi_t$ es el flujo de$\mathbb{X}$.

No he visto la fórmula$(\mathcal{L}_X\alpha)(V_1, \dots, V_k) = X(\alpha(V_1, \dots, V_k)) - \sum_{i=1}^k\alpha(V_1, \dots, V_{i-1}, [X, V_i], V_{i+1}, \dots, V_k)$.

Answer 1

Estas identidades se pueden encontrar usando las fórmulas$(i_Y\alpha)(V_1, \dots, V_k) = \alpha(Y, V_1, \dots, V_k)$ y

PS

En primer lugar, tenemos

\begin{align*} & (\mathcal{L}_Xi_Y\alpha)(V_1, \dots, V_k)\\ =&\ (\mathcal{L}_X(i_Y\alpha))(V_1, \dots, V_k)\\ =&\ X((i_Y\alpha)(V_1, \dots, V_k)) - \sum_{i=1}^k(i_Y\alpha)(V_1, \dots, V_{i-1}, [X, V_i], V_{i+1}, \dots, V_k)\\ =&\ X(\alpha(Y, V_1, \dots, V_k)) - \sum_{i=1}^k\alpha(Y, V_1, \dots, V_{i-1}, [X, V_i], V_{i+1}, \dots, V_k). \end{align*}

Ahora nota que

\begin{align*} & (i_Y\mathcal{L}_X\alpha)(V_1, \dots, V_k)\\ =&\ (i_Y(\mathcal{L}_X\alpha))(V_1, \dots, V_k)\\ =&\ (\mathcal{L}_X\alpha)(Y, V_1, \dots, V_k)\\ =&\ X(\alpha(Y, V_1, \dots, V_k)) - \alpha([X, Y], V_1, \dots, V_k)\\ &\ - \sum_{i=1}^k\alpha(Y, V_1, \dots, V_{i-1}, [X, V_i], V_{i+1}, \dots, V_k)\\ =&\ (\mathcal{L}_Xi_Y\alpha)(V_1, \dots, V_k) - \alpha([X, Y], V_1, \dots, V_k)\\ =&\ (\mathcal{L}_Xi_Y\alpha)(V_1, \dots, V_k) - (i_{[X, Y]}\alpha)(V_1, \dots, V_k). \end{align*}

Después de reorganizar llegamos a la conclusión de que

PS

Uno puede hacer un cálculo similar para probar la otra identidad. Alternativamente, podemos deducirlo directamente del resultado anterior de la siguiente manera:$$(\mathcal{L}_X\alpha)(V_1, \dots, V_k) = X(\alpha(V_1, \dots, V_k)) - \sum_{i=1}^k\alpha(V_1, \dots, V_{i-1}, [X, V_i], V_{i+1}, \dots, V_k).$ $