¿Cómo saber cuándo puedes enfocarte solo en una parte específica de una expresión con un poder parejo?

Question

Me topé con este problema que me estaba pasando a través del curso de Álgebra 2 https://brilliant.org. Se va como sigue:

A partir de

$x = \sqrt{\sqrt{3 \sqrt{\sqrt{3 \sqrt{\sqrt{3 \dots}}}}}}$,

Yo manejo en mi propio para llegar a la siguiente ecuación:

$x^4 = 3x$.

Personalmente, me tomó de allí de la siguiente manera:

$\frac{x^4}{x} = 3 \leftrightarrow x^3 = 3 \leftrightarrow x=\sqrt[3]{3}$.

El curso acepta mi respuesta final de la $x = \sqrt[3]{3}$ como correcta, sin embargo razonan de la siguiente manera:

$x^4 = 3x \leftrightarrow x^4 - 3x = 0 \leftrightarrow x(x^3 - 3) = 0$, ya que en la ecuación original $x > 0$, solo nos preocupa la raíz de $x^3 - 3$:

$x^3 - 3 = 0 \leftrightarrow x^3 = 3 \leftrightarrow x = \sqrt[3]{3}$.

Se llega a la misma respuesta, pero eso no es importante cuando se aprende. Lo que me molesta es que me parecen no entender por qué el $x > 0$ parte es importante, y cómo la utilizan para formar su conclusión. También me pregunto acerca de cómo impacta en mi aproximación a la solución. Y, en general, hace que me pregunte si existen pautas que me puedan ayudar a decidir cuáles son las propiedades de una ecuación original debo tener en cuenta a la hora de transformar las ecuaciones mientras que la solución de un problema.

Supongo que es similar como cuando $x$ está en el denominador de la ecuación original de $x \neq 0$, no importa cómo se puede transformar la ecuación (por ejemplo, anulan el denominador). Yo, sin embargo no aparece en el momento razón por la que no se aplican aquí.

Answer 1

En su solución, al realizar el paso $$ x^4 = 3x \iff \frac{x^4}{x} = x^3 = 3, $$ usted está utilizando la ley de la multiplicación de cancelación, que los estados

Teorema: Si $a$, $b$, e $c$ son cualesquiera números reales con $c \ne 0$, luego $$ a = b \iff ac = bc. $$

En otras palabras, podemos cancelar los factores comunes de ambos lados de la ecuación (que es, se puede "dividir" los dos lados de una ecuación por algo), suponiendo que este factor es distinto de cero. En su cálculo, se está aplicando este teorema. En orden para que esto sea válido paso, las hipótesis del teorema de tanta espera, por lo tanto, usted necesita para ser cierto, que $x \ne 0$. Por lo tanto, usted está suponiendo implícitamente que $x \ne 0$.

Ya de preguntar acerca de las "directrices" para los problemas de trabajo como este, puede ser que valga la pena para llegar a ser extremadamente pedante y muy cuidadosamente razón acerca de cada paso. Por ejemplo, la solución podría ser ampliado a algo similar a la siguiente:

Vamos $$ x = \sqrt{\sqrt{3\sqrt{\sqrt{3\sqrt{\sqrt{3\dotsb}}}}}}, $$ suponiendo que $x$ existe.^[1]Entonces $$ x^4 = \left( \sqrt{\sqrt{3\sqrt{\sqrt{3\sqrt{\sqrt{3\dotsb}}}}}} \right)^4 = 3 \sqrt{\sqrt{3\sqrt{\sqrt{3\sqrt{\sqrt{3\dotsb}}}}}} = 3x. $$ Desde $x > 0$,^[2] la ley de la multiplicación de cancelación da $$ x^4 = 3x \iff x^3 = 3. $$ La función de $f(x) = x^3$ es invertible en $\mathbb{R}$, y ha inverso $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$. Así $$ x^3 = 3 \iff x = \sqrt[3]{3}. $$ Por lo tanto, $x = \sqrt[3]{3}$.

Este tipo de solución es demasiado pedante, pero cada paso de la computación se justifica apelando a algún principio matemático. A menudo nos saltamos la escritura de estas justificaciones a cabo de manera explícita, ya que finalmente puede empezar asumiendo que todos hablamos un lenguaje común y están familiarizados con las mismas reglas. Sin embargo, a veces es útil para dar todos los detalles, si por ninguna otra razón que confirma una comprensión.

Notas a pie de página:

Hay un par de pasos en el cálculo que probablemente deben ser justificados, pero las justificaciones requieren más avanzados de matemáticas (cálculo, al menos). Puede omitir las notas a pie de página y estar bien, pero ellos están aquí para su integridad.

[1] Uno puede escribir expresiones divertidas como esta que no "convergen" a los números reales. Sin embargo, rigurosamente, la comprobación de que tal expresión da un número real requiere de una firme comprensión del concepto de límite, que es la que generalmente no se introdujo hasta el cálculo. Así que sólo tenemos que asumir que $x$ realmente existe.

[2] parece evidente que la $x \ne 0$, pero esto, también, tiene el potencial de ser un poco delicado. Básicamente, $x$ es el límite de uso iterativo de el mapa de $t \mapsto \sqrt[4]{3t}$. Este mapa tiene dos puntos fijos (uno a cero, y uno en alguna otra parte—el segundo punto fijo es lo que estamos tratando de encontrar). Sin embargo, el punto fijo en el cero es "inestable", en el sentido de que la aplicación repetida de que el mapa no dar nunca una sucesión convergente a cero, a menos que el primero que conecte es cero.

Answer 2

Para $ab=0$, o bien $a=0$o $b=0$ o ambos $a=b=0$ (si es posible). Aquí, como ves, $x>0$, como $x$ es una raíz (para $x$ definitivamente no es cero). Esto implica que el otro término en el producto cero. Por lo $x^3-3=0$. Cuando usted tiene una ecuación de la forma $a_1a_2a_3...a_n=0$, siempre que de los casos.