Probabilidad de que la ecuación$x^2 + k_1 x + k_0 = 0$ tenga soluciones reales

Question

$k_1$,$k_0$ son números enteros aleatorios entre$1$ y$100$ (incluidos$1$ y$100$, y distribuidos uniformemente). ¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación$x^2 + k_1 x + k_0 = 0$ tenga soluciones reales?

Este es un subproblema de otro problema, y no sé cómo abordarlo sin fuerza bruta, espero que algunos de ustedes propongan una idea nueva.

La respuesta debe ser ideada sin usar la computadora, si es posible.

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, diciendo que el $x^2+k_1x+k_0$ tiene raíces reales es equivalente a la declaración de $k_1^2\geq 4k_0$. Por lo tanto, se puede dividir en dos casos:

• Si $k_1> 20$ entonces $k_1^2>400 \geq 4k_0$, independientemente de la elección de $k_0$. Esto nos da $80\times 100=8000$ tuplas $(k_1,k_0)$ en el rango que tienen una raíz.

• Si $1\leq k_1\leq 20$ entonces tenemos $1\leq 4k_0\leq k_1^2$. El número de $k_0$ satisfacer este es $\left\lfloor\frac{k_1^2}4\right\rfloor$ que puede ser ampliado como: $$\left\lfloor\frac{k_1^2}4\right\rfloor=\begin{cases}\frac{k_1^2}4&&\text{if }k_1 \text{ is even}\\\frac{k_1^2-1}4&&\text{if }k_1\text{ is odd}\end{cases}.$$ A partir de aquí, simplemente tenemos dos sumas de polinomios, es decir, el número de tuplas con incluso $k_0$ es (suma de más de $k_0=2i$): $$\sum_{i=1}^{10}i^2=385$$ y el número de tuplas con extraña $k_0$ es (suma de más de $k_0=2i-1$): $$\sum_{i=1}^{10}i^2-i=330$$ Dicho todo lo anterior, nos encontramos con que no se $715$ tuplas con raíces y $1\leq k_1\leq 20$.

En suma, hay $8715$ tuplas rendimiento de raíces, por lo que la probabilidad es $\frac{8715}{10000}=\frac{1743}{2000}$. Observe que las sumas de polinomios puede ser calculada en forma cerrada, como la suma de un polinomio de grado $d$ es un polinomio de grado $d+1$, lo que nos permite realizar todo esto de la mano.

Answer 2

Sé que solicitó una solución no informática, pero aquí hay una para que sepamos cuál es la respuesta:

 import itertools
L = len([t for t in itertools.product(range(1,101),range(1,101)) \
    if t[1]**2 >= 4 * t[0]])
print(L)
 

La respuesta es$8715$ combinaciones que satisfacen el requisito (es decir,$P=0.8715$).

Answer 3

Tiene soluciones reales iff$\Delta=k_1^2-4k_0\ge 0$.

PS

$$P=\frac{\sum_{i=1}^{20}\lfloor\frac{i^2}{4}\rfloor+80\cdot 100}{10000}$. Por lo tanto (ver aquí y aquí ):

PS

PS

Answer 4

Los valores posibles pueden ser de la siguiente manera $$ \eqalign{ k_1:1 & k_0:\_ \cr k_1:2 & k_0:1 \cr k_1:3 & k_0:1,2 \cr k_1:4 & k_0:1,2,3,4 \cr k_1:5 & k_0:1,2,3,4,5,6 \cr k_1:6 & k_0:1,2,3,4,5,6,7,8,9 \cr & \cdots \cr k_1:20 & k_0:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\cdots 100 \cr k_1:21 & k_0:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\cdots 100 \cr & \cdots \cr k_1:100 & k_0:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\cdots 100 \cr } $$ Esto es un total de $$ \sum_{i=2}^{20}{\lfloor{i^2 \más de 4}\rfloor} + 80 \cdot 100 = 8715 $$