En primer lugar, permítanme estado el problema.
Si al azar y de manera uniforme dividir k unidades de agua en n baldes ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los cubos que tiene más de $\frac{k}{2}$unidades de agua? (Tenga en cuenta que como el agua es continuo, puede dividirlo en cualquier proporción real)
Es como las papeleras y las pelotas, pero a diferencia de las bolas que son discretos, el agua es continuo.
El problema es que aunque soy familier con probabilidad, no he encontrado con un problema similar antes.
Es incluso posible solución utilizando simplemente probabilidad o debo tratar de reducirla a algún otro problema?
Gracias de antemano!
Respuestas
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BruceET
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Comentario: tal vez esto es más fácil de visualizar si usted tiene una cuerda que es $k$ unidades de longitud. A continuación, cortar en $n-1$ "elegido al azar" señala a $n$ trozos de cuerda. La clave para obtener una respuesta es para decir exactamente lo que quieres decir por "elegido al azar", apunta. Sería un método para elegir un 'continuo' distribución uniforme.
Si $n = 2$ es prácticamente imposible que el recorte podría ser exactamente en el centro. Así que uno de los dos pedazos de cuerda tiene que ser más de $k/2.$
Si $n = 3,$ el problema es más interesante. Para evitar llegar a las matemáticas por ahora, voy a simular las ubicaciones de los dos cortes mediante la continua distribución uniforme. Aquí es cómo una iteración de la simulación iría: Para simplificar, voy a dejar $k = 1.$ Si los recortes que se vienen en puntos de $U_1$ e $U_2,$ deje $X_1$ ser el menor de modo que $X_1 = min(U_1, U_2).$ Y deje $X_2$ ser el más grande. A continuación, los tres las piezas tienen longitudes $X_1 - 0,\, X_2 - X_1,$ e $1 - X_2.$, Entonces podemos comprobar si la más larga de las tres piezas de la cuerda tiene una longitud de $G$ mayor que $1/2.$
Aquí es cómo una iteración del proceso se ve en el software estadístico R:
u = runif(2); u
## 0.23527570 0.09365067 # positions of 2 cuts
sort(u)
## 0.09365067 0.23527570 # put smallest 1st
diff(c(0, sort(u), 1))
## 0.09365067 0.14162502 0.76472430 # lengths of 3 pieces, last > 1/2
Haciendo un enorme número de iteraciones, se puede obtener una buena aproximación a $P(G > 1/2).$ por Debajo es una simulación a partir de un millón de iteraciones. En 749,858 de los millones de trozos de cuerda de 1 metro de largo, de forma aleatoria cortado en tres piezas, la más larga de la pieza fue de más de 500 cm. Cada ejecución de un millón de le dará un poco diferente de respuesta; otra carrera había 750,011. Por lo que parece $P(G > 1/2) \approx 3/4.$ [El $95\%$ margen de simulación de error para la probabilidad es $\pm 0.00087.$]
g = replicate( 10^6, max(diff(c(0,sort(runif(2)),1))) )
mean(g > .5)
## 0.749858
Por supuesto, como el número de cortes se hacen más grandes, las posibilidades de que uno de los las piezas es más de $k/2$ disminuye. Durante cinco cortes (seis piezas) tengo una probabilidad de alrededor de $0.19,$ quizás $3/16.$
Un matemático riguroso solución para esta versión de su problema (con azar de corte de acuerdo a la continua distribución uniforme) es posible. Si las observaciones se ordenan de menor a mayor, son los denominados " orden estadísticas'. Es posible escribir funciones de densidad de probabilidad para las diferencias entre vecinos de estadísticas de orden y de que sería una manera de obtener una solución exacta. (Alguien en este sitio ya ha hecho algo parecido).
Nota: volviendo a tu problema, con un volumen de agua: Se podría imagina el agua en un depósito cilíndrico transparente lleno a $k$ unidades en altura. Entonces utilizar el uniforme de los números de poner las marcas a lo largo del lado del tanque para mostrar cómo cantidad de agua para poner en cada una de las $n$ cubos.
Mike
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No es una respuesta completa, pero una pregunta importante. Demasiado tiempo para poner en los comentarios.
Bien, lo primero que usted necesita para ser más claro (excusa el juego de palabras) en el preciso modelo de probabilidad de aquí. ¿La probabilidad de que una molocule de agua que terminan en el Cubo de $i$ independiente de donde otro molocule de agua termina? Tal vez como n contenedores de recogida de niebla.
O hay lugar $n-1$ números de $a_1,\ldots, a_{n-1}$ cada $a_i$ dibujado de acuerdo a la distribución uniforme en $[0,k]$, donde balde $i$ pasa $a_i-a_{i-1}$ unidades de agua (y un balde $n$ pasa $k-a_n$ unidades de agua y un cubo 1 se $a_1$ unidades de agua).
El primero es $\lim_{k \rightarrow \infty} \mathbb{P}[$ $\frac{k}{2}$ de $k$ bolas de tierra en cualquiera de reciclaje$]$, el cual es 0 (por $n \geq 3$).
El último puede ser fácilmente calculada demasiado.
Anonymous
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Como otros han dicho, el problema aquí es ser riguroso acerca de a qué te refieres con "al azar y de manera uniforme" de asignar el agua en un continuo, más que discretos configuración. Una forma natural de interpretar esto es pensar en el caso continuo como el límite de la discreta caso de que el número de elementos discretos que va hasta el infinito. En su caso, si tengo $k$ unidades de agua, y $1$ "unidad" es $m$ moléculas asignado de manera uniforme y de forma independiente al azar a $n$ baldes, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los $n$ baldes tiene más de $k/2$ unidades, es decir, $mk/2$ de moléculas?
La respuesta en este caso es casi trivial: la probabilidad es $0$ si $n\leq 2$, e $1$ si $n\geq 3$. Eso es porque, como el número de juicios $m$ va a las $\infty$, la desviación de la media crece como algo parecido a $\sqrt{m}$, y la probabilidad de ver una divergencia que crece infinitamente grande o infinitamente pequeño, que $\sqrt{m}$ es $0$. Así, con $1$ balde, obviamente, tener todo lo que hay, así que más de $k/2$. Con $2$, en promedio, tienen exactamente $k/2$, pero que realmente puede esperar ver un poco "desequilibrio". Este desequilibrio va a $0$ en términos relativos (cantidad de unidades), pero a $\infty$ en términos absolutos (número de moléculas). Con $n\geq 3$, la probabilidad de ver más de $k/n+\epsilon$ unidades por el cubo va a $0$ cualquier $\epsilon>0$.
Esto pone de relieve el problema con el uso independiente "continuo" ensayos: la ley de los grandes números aplasta todo a la media (o, más precisamente, hace que la probabilidad de que más de un arbitrariamente pequeño relativa a la desviación de la media de $0$, pero también la probabilidad de obtener exactamente el promedio de $0$).
