Comportamiento extraño de$\sin(x^3)$ y$\tan(x^3)$

Question

Me di cuenta de este comportamiento hace mucho tiempo y nunca me di cuenta de esto, pero si usted toma el $\sin$ o $\cos$ o $\tan$ etc. de un polinomio cúbico se obtiene una muy extraño y errático comportamiento. Parece que no tiene fácilmente explicable patrón y no estoy seguro de por qué. La función es todavía suave, pero los sucesivos derivados de crecer más y más grande. Mi mejor conjetura es que, como los derivados seguir creciendo más y más, pero aún periódico de obtener este comportamiento debido a la cada vez más violenta de los instrumentos derivados se anulen entre sí.

Esto es un ejemplo simple de un sistema caótico? Qué características de estas funciones hacen que se comporte de forma errática. Puedo hacer esto con otros tipos de funciones periódicas?

En resumen, ¿por qué hace esta función se comportan de manera tan caprichosa?

Answer 1

Al trazar la rápida oscilación de las funciones de calculadoras gráficas a menudo tienen problemas con la calculadora utilizando un demasiado grueso muestreo de la puesta a punto de la trama aspecto muy errático (el bastante grande, del tamaño de pixel en estas calculadoras no ayuda tampoco). Como OP mencionan a continuación; sus parcelas se ve muy diferente de la que os presento aquí, así que esto es probable que la fuente de la aparente "caos" de la conducta.

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El período de $\sin(x)$ es $2\pi$ así que a partir de un determinado valor de $x$ tenemos que $\sin(x^3)$ completa una oscilación al llegar a $x + \Delta x$ donde $$(x+\Delta x)^3 - x^3 = 2\pi \implies\Delta x \approx \frac{2\pi}{3x^2}$$ para un gran $x$. Vemos que $\Delta x$ se hace más pequeño y más pequeño de lo $x$ crece por lo que la función oscila más y más rápido a medida que aumentamos $x$. Esto a su vez implica muy grande derivados para la gran $x$. También se puede mostrar esto mediante el cálculo de los derivados exactamente

$$\frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3)$$

El gráfico de esta será rápida oscilaciones contenida dentro de la envolvente de $\pm 3x^2$:

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Usted puede obtener este comportamiento con cualquier tipo de función periódica $f(x)$ considerando $f(g(x))$ donde $g(x)$ crece más rápido de lo $x$. Por ejemplo, teniendo $g(x)=e^x$ le da aún más rápido oscilaciones que para $g(x) = x^3$. Aquí está una comparación de $\sin(e^{2x})$ e $\sin(x^3)$:

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