Integral de constante dividida por polinomio y otra constante.

Question

PS

¿Cuáles son los pasos para integrarse?

Answer 1

SI su límite superior habría sido $0$ en lugar de $-1$, entonces se podría fácilmente haber expresado esta integral definida en términos de una $($regular$)$ función beta. Tal y como está, sólo podemos hacerlo mediante el uso de una función beta incompleta en su lugar. Para ello, lo primero reescribir toda la integral utilizando la paridad de sus integrando, entonces el factor de $2$ fuera del signo radical. A continuación, vamos a $x^6=2~t^6$, e $u=\dfrac1{\sqrt{t^6+1}}$. La expresión de la mencionada función especial pronto surgirá.

Answer 2

$\int_{-\infty}^{-1}\dfrac{4}{\sqrt{x^6+2}}dx$

$=\int_\infty^1\dfrac{4}{\sqrt{(-x)^6+2}}d(-x)$

$=\int_1^\infty\dfrac{4}{\sqrt{x^6+2}}dx$

$=\int_1^\sqrt[6]2\dfrac{4}{\sqrt{x^6+2}}dx+\int_\sqrt[6]2^\infty\dfrac{4}{\sqrt{x^6+2}}dx$

$=\int_1^\sqrt[6]2\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt{1+\dfrac{x^6}{2}}}dx+\int_\sqrt[6]2^\infty\dfrac{4}{x^3\sqrt{1+\dfrac{2}{x^6}}}dx$

$=\int_1^\sqrt[6]22\sqrt2\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!x^{6n}}{4^n(n!)^22^n}dx+\int_\sqrt[6]2^\infty\dfrac{4}{x^3}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!2^n}{4^n(n!)^2x^{6n}}dx$

$=\int_1^\sqrt[6]2\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!x^{6n}}{2^{3n-\frac{3}{2}}(n!)^2}dx+\int_\sqrt[6]2^\infty\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!x^{-6n-3}}{2^{n-2}(n!)^2}dx$

$=\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!x^{6n+1}}{2^{3n-\frac{3}{2}}(n!)^2(6n+1)}\right]_1^\sqrt[6]2+\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!x^{-6n-2}}{2^{n-2}(n!)^2(-6n-2)}\right]_\sqrt[6]2^\infty$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!2^{n+\frac{1}{6}}}{2^{3n-\frac{3}{2}}(n!)^2(6n+1)}-\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!}{2^{3n-\frac{3}{2}}(n!)^2(6n+1)}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!2^{-n-\frac{1}{3}}}{2^{n-1}(n!)^2(3n+1)}$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n-\frac{5}{3}}(n!)^2(6n+1)}-\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!}{2^{3n-\frac{3}{2}}(n!)^2(6n+1)}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n-\frac{2}{3}}(n!)^2(3n+1)}$