Es $X\times Y$ isomorfo a $Y\times X$?

Question

Deje $\mathscr{C}$ ser una categoría con finito de productos. Deje $X,Y$ ser objetos de $\mathscr{C}$. Es cierto en general que $X\times Y$ e $Y\times X$ son isomorfos objetos?

Answer 1

Sí. Producto dado diagramas $$X \xleftarrow{p_1} X \times Y \xrightarrow{p_2} Y \qquad \text{and} \qquad Y \xleftarrow{q_1} Y \times X \xrightarrow{q_2} X$$ Podemos obtener un isomorfismo $\langle q_2, q_1 \rangle : Y \times X \to X \times Y$, con inverse $\langle p_2, p_1 \rangle$. Entonces, de hecho, $$X \xleftarrow{q_2} Y \times X \xrightarrow{q_1} Y$$ es un producto diagrama.

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Recuerde, producto de diagramas como algo definido por una característica universal - se definen únicamente hasta el isomorfismo. $X \times Y$ es sólo un nombre que le damos a una elección particular de producto de $X$ e $Y$ (por lo general con algunos implícita la elección de la proyección de morfismos), pero puede haber otros. Lo anterior muestra que $Y \times X$ es también un producto diagrama para el par $X,Y$ (así como el par $Y,X$).

Por ejemplo, en $\mathbf{Set}$ si $f : Z \to X \times Y$ es cualquier bijection en todas entonces $$X \xleftarrow{\pi_1 \circ f} Z \xrightarrow{\pi_2 \circ f} Y$$ es un producto diagrama, donde $X \times Y$ denota el producto Cartesiano y $\pi_1, \pi_2$ son los habituales de los mapas de proyección. Así, por ejemplo, $6$- elemento del conjunto es un producto de los conjuntos de $\{0,1\}$ e $\{0,1,2\}$ (pero por lo general con diferentes mapas de proyección).