La construcción de una especial función continua

Question

Deje $\alpha\in\mathbb{R}^{d}$. Construir una función continua $f:\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $0\leq f(x)\leq1$ para todos los $x\in\mathbb{R}^{d}$; $f(\alpha)=0$ y $f(x)=1$ si $|x-\alpha|\geq\epsilon$ para un determinado $\epsilon>0$.

Mi reacción inicial es que el $f$ no es continua. Parece ser un salto en $\alpha$. Yo uso la etiqueta de `la teoría de la probabilidad" porque esto es de una probabilidad de clase. Dado este contexto, me pregunto si $f$ es una función de distribución acumulativa. Yo también considera la construcción de este directamente por $f(x)={\displaystyle \frac{|x-\alpha|}{1+|x-\alpha|}}$. Pero no satisface a $f(x)=1$ si $|x-\alpha|\geq\epsilon$ para un determinado $\epsilon>0$.

Gracias!

Answer 1

Debido a $\epsilon$ es fijado antes de tiempo, usted puede hacer la función continua. Comience por dejar $$f(x)=\frac1{\epsilon}\|x-\alpha\|$$ for $0\le\|x-\alpha\|\le\epsilon$; that makes $f$ increase linearly from $0$ to $1$ as you move from $\alpha$ out to the $d$-sphere of radius $\epsilon$ around $\alpha$. Now you need to make sure that $f(x)=1$ if $\|x-\alpha\|\ge\epsilon$. Just do it: el uso de dos partes de una definición. El problema pidió una función continua, no sin 'esquinas'.

Answer 2

No entiendo cómo esto se relaciona con la teoría de la probabilidad, debido a que $f(x) = 1$ al $|x - \alpha| \ge \varepsilon$ medio $f$ no es integrable sobre $\mathbb R^d$, pero lo que sea. Digamos que no es lo que queremos.

Una tal función sería la siguiente, para $p > 0$ :

$$ f_p(x) = \begin{cases} 1 & \text{ if } |x - \alpha| \ge \varepsilon \\ \frac{|x- \alpha|^p}{\varepsilon} & \text{ if } |x - \alpha| < \varepsilon. \end{casos} $$ Se puede ver que $f(\alpha) = 0$, $f$ es continuo, y $f(x) = 1$ si $|x-\alpha| \ge \varepsilon$. La mejor manera de ver la continuidad es que la función está definida en dos secciones con distintos interiores, y esas dos secciones coinciden en la frontera y son continuas en el interior. Por lo tanto, $f$ es continua.

Espero que ayude,