encontrar $\lim_{n\to \infty}(\log(1+1/n))^{1/n}$

Question

La cuestión es encontrar el límite de la siguiente como n tiende a infinito :

$\lim_\limits{n\to \infty}(\log(1+1/n))^{1/n}$

mi intento:

tomó la expansión de $\log(1+x)$ así

$\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{n^{1/n}}(1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n^2}....)^{1/n}) $ es de la forma $1^0$ que no está indeterminado y, por tanto, el límite es 1.

¿es lo correcto?

Answer 1

\begin{align} & (\log(1 + 1/n))^{1/n} \\ = & \exp\left[\frac{1}{n}\log\left(\log\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)\right] \\ \end{align} Así que vamos a usar L'Hospital de la regla para evaluar el exponente: \begin{align} & \lim_{x \to 0} x\log(\log(1 + x)) \\ = & \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + x)\log(1 + x)}}{-\frac{1}{x^2}} \\ = & -\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(1 + x)\log(1 + x)} \\ = & - \lim_{x \to 0} \frac{2x}{1 + \log(1 + x)} \\ = & 0. \end{align} Por lo tanto, el límite original es $1$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $n^{1/n} \to 1$ as $n \to \infty$ e $n\log\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) \to 1$ as $n \to \infty$. Y, por tanto, $$\left(\log\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)^{1/n} = \dfrac{\left(n\log\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)\right)^{1/n}}{n^{1/n}} \to \frac{1^{0}}{1} = 1$$

Actualización: Una prueba simple de $n^{1/n} \to 1$ se basa en el siguiente teorema:

Si $a_{n} > 0$ para todos los $n$ e $\lim_{n \to \infty}\dfrac{a_{n + 1}}{a_{n}} = L$ entonces $\lim_{n \to \infty}(a_{n})^{1/n} \to L$.

Simplemente coloque $a_{n} = n$ en el teorema anterior y obtenga $n^{1/n} \to 1$.

Answer 3

$\ln a_n = \dfrac{\ln(n+1)-\ln n}{n}= \dfrac{\ln (n+1)}{n} - \dfrac{\ln n}{n}\to 0-0=0\to a_n \to 1$

Answer 4

$$\lim_{n\to \infty}\left[\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$$ Vamos, $\frac{1}{n}=t\implies t\to 0\ as \ n\to \infty$ $$\lim_{t\to 0}\left[\log\left(1+t\right)\right]^{t}$$ $$=exp\left[\lim_{t\to 0}t\log(\log\left(1+t\right))\right]$$ $$=exp\left[\lim_{t\to 0}\frac{\log(\log\left(1+t\right))}{\frac{1}{t}}\right]$$

$$=exp\left[\lim_{t\to 0}\frac{\frac{1}{(1+t)\log(1+t)}}{\frac{-1}{t^2}}\right]$$

$$=exp\left[\lim_{t\to 0}\frac{-t^2}{(1+t)\log(1+t)}\right]$$ $$=exp\left[\lim_{t\to 0}\frac{-2t}{\frac{(1+t)}{1+t}+\log(1+t)}\right]$$ $$=exp\left[\lim_{t\to 0}\frac{-2t}{1+\log(1+t)}\right]$$ $$=exp\left[\frac{-2(0)}{1+\log(1)}\right]$$ $$=e^{0}=1$$