Un Integrante de la desigualdad

Question

Deje $f$ ser continuamente una función derivable en $[0,1]$. Demostrar que $$|f(\frac{1}{2})|\leq\int\limits_0^1|f(x)|dx+\frac{1}{2}\int\limits_0^1|f'(x)|dx$$

Answer 1

Necesitamos esta afirmación general de que un verdadero continuamente derivable la función :

$$ \int_a^b{f(t)dt} = bf(b) - af(a) - \int_a^b{tf'(t)dt}= (b-a)f(a) - \int_a^b{(t-b)f'(t)dt} $$

Es sólo una integración por parte, pero el uso de dos diferentes tipos primitivos

Poner $a = 0$ e $b=\frac{1}{2}$ en la primera igualdad para obtener

$$ \int_0^{\frac{1}{2}}{f(t)dt} = \frac{1}{2}f({\frac{1}{2}}) - \int_0^{\frac{1}{2}}{tf'(t)dt} $$

y $a = {\frac{1}{2}}$ e $b=1$ en el segundo la igualdad

$$\int_{\frac{1}{2}}^1{f(t)dt} = {\frac{1}{2}}f({\frac{1}{2}}) - \int_{\frac{1}{2}}^1{(t-1)f'(t)dt}$$

Y ahora es muy fácil : sólo hay que tomar la suma de los dos igualdades y uso del triángulo de la desigualdad, que le dará lo que usted necesita

Answer 2

Deje $x_0 \in [0,1]$ ser tal que $|f(x_0)| \leq |f(x)|$ para todos los $x \in [0,{1 \over 2}]$. Entonces usted tiene $$f({1 \over 2}) = f(x_0) + \int_{x_0}^{1 \over 2} f'(x)\,dx$$ Así $$|f({1 \over 2})| \leq |f(x_0)| + \int_{x_0}^{1 \over 2} |f'(x)|\,dx$$

$|f(x_0)|$ es mayor que el promedio de $|f(x)|$ a $[0,{1 \over 2}]$, es decir,${\displaystyle 2\int_0^{1 \over 2}|f(x)|\,dx}$, y también se ${\displaystyle \int_{x_0}^{1 \over 2} |f'(x)|\,dx \leq \int_{0}^{1 \over 2} |f'(x)|\,dx} $. Por lo que el de arriba te da $$|f({1 \over 2})| \leq 2\int_0^{1 \over 2}|f(x)|\,dx+ \int_{0}^{1 \over 2} |f'(x)|\,dx$$ La correspondiente desigualdad en la mitad derecha del intervalo de $[{1 \over 2}, 1]$ es $$|f({1 \over 2})| \leq 2\int_{1 \over 2}^1|f(x)|\,dx+ \int_{1 \over 2}^1 |f'(x)|\,dx$$ La adición de las dos últimas ecuaciones y dividiendo por dos da el deseado desigualdad: $$|f({1 \over 2})| \leq \int_0^1|f(x)|\,dx+ {1 \over 2}\int_0^1 |f'(x)|\,dx$$