Dejemos que $A$ sea un álgebra de Banach unitaria y conmutativa y $I \subset A$ un ideal tal que $I$ con la norma relativa es un álgebra de Banach uniforme y $A / I$ con la norma del cociente también es uniforme. ¿Se deduce que $A$ ¿es uniforme?
Espero que haya un contraejemplo que implique el álgebra de Banach $C(X)$ con $X$ un espacio compacto de Hausdorff, pero aún no ha podido construir uno.
No estoy en desacuerdo con las otras respuestas, pero quiero intentar utilizar palabras diferentes:
La evolución de un estado cuántico es determinista en el sentido de que viene dada por el hamiltoniano. La mecánica cuántica no necesita nada más allá de la evolución unitaria. Así que en ese sentido, la respuesta es determinista.
Sin embargo, la decoherencia significa que, eventualmente, un estado cuántico puede evolucionar hacia una superposición de estados muy casi ortogonales, que para sistemas suficientemente grandes se asemejará, con una precisión arbitraria, a la respuesta que se podría obtener al suponer que existe un proceso no determinista y no unitario de "colapso de la función de onda".
A efectos prácticos, dado que somos grandes observadores clásicos, sólo podemos observar una de esas combinaciones casi ortogonales, y la interferencia con otros posibles resultados será inconmensurablemente pequeña. Así que, en este sentido, el resultado es "no determinista".
Si esto le parece contradictorio, considere algo análogo sobre la mecánica estadística clásica y la termodinámica. Si empiezo con una colección de moléculas de gas agrupadas en una esquina de la habitación, se trata de un estado muy atípico (de baja entropía) bajo cualquier ordenación natural del espacio de fases. Ahora, mediante interacciones totalmente reversibles, puede convertirse en un estado típico (de alta entropía) con moléculas dispersas por toda la habitación. Este proceso parece haber perdido información, en el sentido de que tendría que hacer muchas, muchas mediciones difíciles para comprobar que poco antes éste era un estado muy especial. Pero en realidad, la física subyacente es determinista, así que en principio el estado final recuerda de dónde viene, aunque a efectos prácticos si intentara evolucionarlo hacia atrás nunca descubriría la respuesta correcta. (Para que quede claro, no estoy pretendiendo una analogía muy aguda aquí. Pero estoy diciendo que la noción de que la evolución microscópicamente determinista puede ser consistente con aparentemente o "a todos los efectos prácticos" la pérdida de determinismo en las observaciones reales es algo que podría ser más intuitivo en este contexto).
Creo que A tiene que ser isomorfo a un álgebra uniforme, por el siguiente argumento.
Sea q el cociente HM de A sobre A/I. Sea r A sea el radio espectral en A, nótese que si x \in I entonces || x ||= r I (x)=r A (x).
Que a \in A tienen norma 1. Afirmo que r A (a) \geq 1/3.
Pues, dejemos que r > r A (a). Como el radio espectral no puede ser aumentado por un homomorfismo, tenemos
|| q(a) || = r A/I (q(a)) < r;
entonces, como q es un homomorfismo cociente, existe b \in A tal que q(b)=q(a) y || b || < r.
Ya que a-b \in I tenemos
r A (a-b) = || a- b || > 1 -r.
Pero como A es conmutativo el radio espectral r A es subaditivo, por lo que r A (a-b) \leq r A (a) + r A (b) < r + r = 2r.
Por tanto, 1-r < 2r, es decir, r > 1/3. De ello se deduce que r A (a) \geq 1/3. Al reescalar, deducimos que ||a|| \geq r A(a) \geq || a||/3 , y por tanto la transformada de Gelfand de A es inyectiva con rango cerrado, como se afirma.
Espero que eso sirva. Es un problema bonito, no lo he visto antes, pero me sorprendería mucho que el argumento anterior -si es correcto- sea nuevo o el mejor posible.
EDITAR: Me han pedido que amplíe algunos de los pasos del argumento anterior.
En primer lugar: si q es un mapa cociente de un espacio B X a Y, entonces por defn, para cada y \in Y y cada \epsilon >0 existe x \in X con q(x)=y y || x || \leq (1+ \epsilon )|| y ||.
En este caso X=A, Y=A/I e y=q(a). Sabemos que || q(a) || = r(q(a)) < r, por lo que la elección de \epsilon adecuadamente, podemos encontrar b \in A tal que || q(b) || < r.
Segundo: acabamos demostrando que r > 1/3. Pero por definición, r era cualquier cosa estrictamente mayor que r_A(a). Se deduce que r_A(a) debe ser al menos 1/3; porque si no lo fuera, habría espacio entre 1/3 y r_A(a) para insertar alguna r que satisfaga 1/3 > r > r_A(a), y acabamos de ver que eso no es posible.
Podría ayudar a ver el argumento de una manera más vaga pero más intuitiva (el 1/3 es una ligera distracción). Supongamos que podemos encontrar un elemento a en A que tenga una norma grande pero un radio espectral muy pequeño. Entonces su imagen en A/I también tendría un radio espectral muy pequeño, por lo que, según tu suposición, tendría una norma pequeña en A/I. Por definición de la norma del cociente, eso significa que a está muy cerca de I (en el sentido de la distancia de un punto a un subespacio cerrado) y por tanto existe a' \in I que está muy cerca de a. En particular, a' debería tener una norma grande (ya que a la tiene) y, por lo tanto, tener un radio espectral grande por la suposición sobre I. Pero ahora a y a' son elementos de A que están muy cerca, y sin embargo uno tiene un radio espectral muy pequeño y el otro tiene un radio espectral grande. Eso no debería ser posible, ya que el radio espectral está dominado por la norma.
Precisando todo lo anterior, se obtiene esencialmente el argumento original que di. Sucede que grande=1 y muy pequeño = 1/3 hace el trabajo.
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