Demostrar que un producto de ciertas matrices no es identidad

Question

Tengo una pregunta rápida sobre matrices. Considerar $ x= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) $ and $ y = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right)$

Es evidente que ningún poder excepto $0$ de % de $x$ o $y$ es igual a $I$, y claramente $x^k y^j$ no está de identidad para distinto de cero $k,j$. Mi pregunta: Es cualquier producto $x^{k_1}y^{k_2}...x^{k_{n-1}}y^{k_n}$ no es igual a $I$? Sospecho que es así, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo. Parece que la inducción, pero no veo cómo se debe ir

Answer 1

Ver Sanov subgrupo en $SL(2,\mathbf Z)$ es libre de rango dos

Answer 2

Deje $P$ ser el producto de $x$s y $y$s. Considerar la suma de $S$ de todas las entradas en $P$. Si todas las entradas son no negativas, multiplicando por cualquiera de las $x$ o $y$ va a aumentar.

Los casos de Base:

$P = \left(\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)$, $S=4$.

$P = \left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{matrix}\right)$, $S=4$.

Recursiva de los casos: Suponga que $S \ge 4$, y todas las entradas son no negativas.

$P = \left(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}\right)$

$P^\prime = Px = \left(\begin{matrix}a & 2a + b \\ c & 2c + d \end{matrix}\right)$, $S^\prime = 3a+b+3c+d \ge S + 2a + 2c \ge 4$

$P^\prime = Px = \left(\begin{matrix}a + 2b & b \\ c + 2d & d \end{matrix}\right)$, $S^\prime = a+3b+c+3d \ge S + 2b + 2d \ge 4$

Por lo tanto $P^\prime$ tiene todos los no-negativo entradas, y una suma de al menos 4.

Desde $I$ ha $S = 2$, no $P$ puede siempre igual $I$.

Answer 3

Supongamos que tenemos $x^{k_1}y^{k_2}\ldots x^{k_{n-1}}y^{k_n}=I$. De ello se desprende que $y$ es la inversa de $x^{k_1}y^{k_2}\ldots x^{k_{n-1}}y^{k_n-1}$. Si $$x^{k_1}y^{k_2}\ldots x^{k_{n-1}}y^{k_n-1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$ entonces sabemos que el $a,b,c,d\ge 0$ a partir de los formularios de $x$ e $y$. Sin embargo, hemos $$y^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}$$ una contradicción.