Encontrar todos los números complejos $z$ tal que $|z|=\frac{1}{|z|}=|1-z|$

Question

Problema: Encontrar todos los números complejos $z$ tal que $|z|=\frac{1}{|z|}=|1-z|$.

Básicamente tengo una idea de cómo solucionar esto y me da $x=\frac12$, pero ¿cómo debo expresar matemáticamente? Debo ir a buscar a $y$ también?

Answer 1

$$|z|=\frac1{|z|}\Rightarrow |z|=1,$$ $$|z|=|1-z|\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(1-x)^2+y^2}\Rightarrow x=\frac12,$$ donde $z=x+iy$. A continuación, vamos a determinar la parte imaginaria $$\sqrt{\left(\frac12\right)^2+y^2}=1\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}2.$$ Por lo tanto, las soluciones son $$z_1=\frac12+i\frac{\sqrt{3}}2,$$ $$z_2=\frac12-i\frac{\sqrt{3}}2.$$

Answer 2

Sugerencia: $\require{cancel}$ $|z|^2=|1-z|^2$ $\iff$ $z \bar z = (1-z)(1-\bar z)$ $\iff$ $\cancel{z \bar z}=1-z-\bar z+\cancel{z \bar z}\,$

Desde $1=|z|^2=z \bar z$ se sigue que $\bar z = \cfrac{1}{z}$, por lo que la última igualdad se convierte en $z^2-z+1=0\,$, que es un simple cuadrática tener los dos posibles valores de $z\,$ como raíces.

Answer 3

Sugerencia: $|z|=1$ representa un círculo en el plano complejo donde el eje x es la parte real y el eje y es la parte imaginaria del número complejo(todos los puntos son equidistantes del origen.)
Y $|z|=|1-z|$ representa la línea de $x=\frac{1}{2}$ (conjunto de todos los puntos equidistantes de 0 y 1 debe ser la mediatriz del segmento de unirse a 1 y 0). Ahora que usted está buscando intersección de las dos curvas.