Cómo encontrar la suma de esta cos de la serie

Question

$$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(\theta\log(k))}{k^a}$$

Cómo hago para encontrar el valor de S, dado que el $\theta \to \infty$ e $0 < a < 1$.

Ninguna técnica especial que podría ser útil en el cálculo de esta suma?

EDITAR: Sólo para dar un poco de contexto,

En realidad estaba tratando de averiguar $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(\theta\log(k))}{k^a} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(\theta\log(k + 0.5))}{(k+0.5)^a}$$

Puesto que la expresión era un poco complicado, me he decidido a escribir la versión común...

Answer 1

Su valor es, básicamente, el valor de la Riemann zeta función: $$ S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{Re (e^{i \theta \log(k)})}{k^a} = Re( \sum_{k=1}^{\infty} k^{i \theta - a} ) = Re( \zeta ( a - i \theta )) $$ Desea evaluar esta en la crítica de la tira de $0 < a < 1$.

La buena noticia es que hay una enorme cantidad de literatue en la zeta de Riemann. La mala noticia es que esta función es desagradable en la crítica de la tira.