Evaluar $\int_{0}^{\infty }(2e^{-3x}+4e^{-7x})^2dx$

Question

Actualmente me estoy enseñando a mí mismo el cálculo y probablemente estoy tratando de correr antes de poder caminar, pero he estado trabajando en este problema..

He conseguido encontrar el resultado correcto para:

$$\int_{0}^{\infty }(2e^{-3x}+4e^{-7x})^2dx$$

ampliándolo a:

$$\int_{0}^{\infty}4e^{-6x}+16e^{-10x}+16e^{-14x}dx$$

y luego trabajar a partir de ahí.

¿Hay un enfoque mejor o más general que podría haber adoptado? He intentado resolverlo utilizando la sustitución pero no he tenido éxito...

Answer 1

Usando la sustitución se puede resolver esto, pero generalmente es más o menos lo mismo. Poner $t=e^{-x}$ por lo tanto tienes $dx = -\frac{1}{t} \ dt$ . Entonces su integral se reduce a $$-\int\limits_{1}^{0} \Bigl[2t^{3}+4t^{7}\Bigr]^{2} \cdot \frac{dt}{t}$$

Answer 2

Si se expanden los paréntesis y se escribe la integral término a término, se obtiene \begin {equation*} 4 \int e^{-6x}dx+16 \int e^{-10x}dx+16 \int e^{-14x}dx \\ =[- \frac {8}{7}e^{-14x}- \frac {8e^{-10x}}{5}- \frac {2e^{-6x}}{3}]^{ \infty }_{0}. \end {equation*}