Por qué $\mathbb Q$ no es localmente compacta, conectada o conectada por trayectoria?

Question

¿Por qué el conjunto de racionales $\mathbb{Q}$ como un subespacio de $\mathbb{R}$ con la topología habitual (euclidiana), no es localmente compacta ni localmente conectada no localmente conectada por trayectoria?

Answer 1

Por cada $a,b \in \mathbb{R}, \space a \neq b$ el subconjunto abierto $(a,b)_\mathbb{Q} \equiv (a,b) \cap \mathbb{Q}$ puede ser dividido dado algún irracional $c$ para lo cual $a<c<b$ como : $$(a,b)_\mathbb{Q}=(a,c)_\mathbb{Q} \cup (c,b)_\mathbb{Q}.$$ Por lo tanto, no hay conjuntos conectados en $\mathbb{Q}$ y, por lo tanto, no está conectada localmente.

En cuanto a lo local/compacto:
Todo conjunto abierto de la forma anterior puede dividirse en infinitos elementos de conjunto abierto (sirviendo como una cubierta infinita sin subcubierta finita), y por tanto todo subconjunto (no vacío) de $\mathbb{Q}$ que contiene un conjunto abierto no es compacto. Dado que todos los vecindarios contienen un conjunto abierto, se deduce que todos los vecindarios contenidos en $\mathbb{Q}$ no son compactos. La conclusión es que $\mathbb{Q}$ no es localmente/compacto.

Además, consulte la respuesta de Arthur Fischer.

Answer 2

Para demostrar que $\mathbb{Q}$ no es localmente compacto, se puede utilizar la declaración de esta pregunta :

Un subconjunto $M$ de un espacio localmente compacto (Hausdorff) $X$ es a su vez localmente compacto si es de la forma $U \cap F$ para algunos abiertos $U \subseteq X$ y algunas cerradas $F \subseteq X$ . 1

Supongamos ahora que $U \subseteq \mathbb{R}$ está abierto y $F \subseteq \mathbb{R}$ está cerrada de forma que $\mathbb{Q} = U \cap F$ . Desde $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q} \subseteq F$ se deduce que $F = \mathbb{R}$ . Pero entonces $U = \mathbb{Q}$ y sabemos que $\mathbb{Q}$ no está abierto en $\mathbb{R}$ ¡! Por lo tanto, $\mathbb{Q}$ no es localmente compacto.

(No se me ocurre una prueba de la no conexión local de $\mathbb{Q}$ que difiere sustancialmente de la de Dror. Señalaré que la respuesta de Dror muestra que $\mathbb{Q}$ es totalmente desconectado los únicos subconjuntos conectados son los singletons. Y ningún espacio no discreto totalmente desconectado está localmente conectado).

---

1 En realidad, no es necesario suponer que el espacio original es localmente compacto; basta con Hausdorff.

Answer 3

Otro argumento para la compacidad local: no es localmente compacto, porque no es un espacio de Baire, y todos los espacios de Hausdorff localmente compactos son espacios de Baire.

Los componentes de $\mathbb{Q}$ son monotonales (porque entre cada dos racionales hay un irracional que los separa, esencialmente), lo que mata la conectividad, y todo subconjunto abierto de $\mathbb{Q}$ es homeomorfo a $\mathbb{Q}$ y, por tanto, esto también es válido para todos los subconjuntos abiertos. Así que el espacio no es localmente conexo (lo que equivale a que cada componente de un subconjunto abierto es abierto), porque $\mathbb{Q}$ no tiene puntos aislados.