Se sabe poco acerca de esta cuestión (de equivalencia).
Sabemos que la declaración implica (entre otras cosas) de que existe un no-medibles conjunto. Por lo tanto, en un modelo donde todos los conjuntos son medibles tal declaración es falsa, es decir, no hay Hamel base a$\mathbb R$$\mathbb Q$.
Nadie puede reemplazar a que no se pueden medir por una débil declaración como discontinuo solución de Cauchy para la ecuación funcional, o un conjunto de números reales, sin la propiedad de Baire. Todas estas propiedades pueden fallar sin el axioma de elección (es decir, si ZFC es consistente, entonces hay modelos en los que el axioma de elección falla, y estas propiedades también fallan).
Uno de mis favoritos de los métodos de prueba de la consistencia de "no Hay Hamel base para $\mathbb R$ $\mathbb Q$" es por medio de automática de la continuidad. Es decir, hay modelos que no tienen elección en la cual siempre $T\colon V\to W$ es lineal, $V$ es un espacio de Banach y $W$ es una normativa de espacio, a continuación, $T$ es continua. En particular, $T$ está acotada.
Supongamos que hay una base de Hamel a$\mathbb R$$\mathbb Q$, su cardinalidad tendría que ser $2^{\aleph_0}$, y por lo tanto ha $2^{2^{\aleph_0}}$ muchas permutaciones, y cada permutación de la base generaría una función lineal de $\mathbb R$ a sí mismo.
Sin embargo, como separable espacio de $\mathbb R$ sólo ha $2^{\aleph_0}$ muchas continua endomorphisms, así, en un modelo donde automática de la continuidad de los espacios de Banach que tiene es imposible que $\mathbb R$ tiene una base de Hamel $\mathbb Q$.
Dos importantes ejemplos de este tipo de modelos son Solovay del modelo en el que todos los conjuntos de reales son Lebesgue medibles, a pesar de que para obtener este modelo tenemos que asumir la existencia de un cardinal inaccesible. El segundo modelo es el Sela del modelo en el que todos los conjuntos de reales tiene la propiedad de Baire (y las hay que no se pueden medir conjuntos), y para este modelo, uno sólo tiene que asumir la consistencia de ZFC sin el axioma adicional como en Solovay del caso.
No se sabe si es o no la existencia de dicho implica que el número real puede ser bien ordenado, que supongo que es una de las principales fuentes de interés.
Usted puede encontrar un pequeño diagrama que describe algunos de los más conocidos implicaciones en torno a esta declaración en Herrlich del Axioma de Elección, Diagrama de 7.23 p. 156. En el libro que usted podría encontrar también los quería una prueba de que $\mathbb R$ no tiene una base de Hamel $\mathbb Q$ en algunos modelos de ZF, Corolario 7.20 p. 154.
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