Si tres números enteros positivos verificar: $a^2=b^2+c^2$, muestran que entre ellos hay un múltiplo de 2 y un múltiplo de $5$.
Aquí está mi intento:
Se denota la congruencia modulo $5$ por "$\sim$". Hemos demostrado que cualquier cuadrado de $x^2$ es de la forma $x^2\sim 0$ o $x^2\sim \pm1$ (ya he demostrado que). Nos muestran que $a^2,b^2,c^2$ no puede ser de la última forma simultánea. Si ese fuera el caso, entonces la $b^2+c^2 \sim \pm 2$, lo que contradice el hecho de que $a^2\sim \pm1$. Por lo tanto, al menos uno de entre $a^2,b^2$ o $c^2$ debe ser divisbile por $5$. Por lo tanto, $a,b$ o $c$ es también divisible por $5$, ya que para cualquier entero $x\sim 0 $ si y sólo si $x^2\sim 0 $.
Usamos el mismo argumento a la congruencia modulo $2$, que también podemos denotar por "$\sim$". De nuevo por contradicción, supongamos que todos los $a^2,b^2,c^2\sim 1$. A continuación, $b^2+c^2\sim 2$, contradiciendo el hecho de que $a^2\sim 1$. Utilizando el mismo argumento que llegamos que algunos entero entre $a,b$ o $c$ es múltiplo de 2.
Es esta bien? Más interesante la prueba?
