Entendemos $\omega$ como un modelo para los números naturales porque satisface la categoría de segundo orden de la teoría de $\sf PA$. Así que si entendemos que "los números naturales" como el único (hasta el isomorfismo) el modelo de la $\sf PA_2$, esto significa que, efectivamente, $\omega$ es este modelo.
Así que, trabajando internamente para $V$, esto tiene que ser el caso. Sin embargo, es posible tener un modelo de $\sf ZFC$ que no está de acuerdo en su enteros con su meta-teoría. Aún así, internamente, $\sf ZFC$ demuestra la inducción de esquema, por lo que incluso si $V$ tiene no estándar enteros, todavía piensa que pueden ser generados por la aplicación del sucesor $\varnothing$ un número finito de veces.
Esto significa que cuando se $V$ y la meta-teoría de acuerdo en la noción de finito tenemos un poco de problemas al traducir la inducción en las fórmulas de la meta-teoría de la inducción en los enteros internamente. Así que suponemos que esto no es el caso. ¿Por qué podemos incluso suponer que? Bueno, no podemos realmente asumir que. Incluso si nuestro meta-teoría de la es $\sf ZFC$, la existencia de un modelo que está de acuerdo con el universo de los números enteros es un fuerte suposición de que sólo asumiendo que hay un modelo de $\sf ZFC$.
Pero la teoría de conjuntos, y las matemáticas en general, es un utilitario de la ciencia. Si la suposición es útil, y no es "horrible", entonces es probable que la asume. Ya que a menudo trabajan con mucho más cosas (como transitivo modelos, grandes cardenales, etc.) suponiendo que el universo y su meta-teoría del acuerdo sobre los enteros no es un gran problema.
Cabe señalar que, a menudo, no lo necesitamos, y no nos preocupamos por eso. Si arreglamos algunos universo de la teoría de conjuntos con el fin de desarrollar el análisis clásico, digamos, entonces podemos olvidarnos de la meta-teoría completamente y probar todo lo que internamente para el modelo. La necesidad de esta interacción surge principalmente cuando hablamos de la teoría de conjuntos en sí.
Y que hacemos, como he dicho, a menudo bajo mucho más fuerte de las hipótesis en la consistencia de la fuerza. Si usted tiene grandes cardenales en el universo, y la meta de la teoría no está de acuerdo con el universo de alguna manera, trabajar internamente para el universo, el uso de algún modelo que está de acuerdo con el universo de los números enteros (y mucho más si se desea). Así que, de repente, esta suposición no es que horrible. Es bastante inocente. Así que nosotros hacemos de ella.
(Como se había prometido, un resumen sobre cómo probar que $\omega$ satisface $\sf PA_2$.)
En fin decir que $\omega$ satisface $\sf PA_2$ tenemos que ser capaces y decir que, dada una declaración en el idioma de segundo orden de la aritmética, de si es o no es cierto en $\omega$. Sin embargo, en el universo de la teoría de conjuntos, hablando de los subconjuntos y los predicados de más de $\omega$ es muy tangible.
Así que tenemos que codificar el lenguaje, para ello necesitamos símbolos de primer y segundo orden de las variables (lo que soluciona dos distintos conjuntos contables para eso) y lo arreglamos símbolos de adición, multiplicación, $0$, $1$ y $\leq$ (podemos también utilizar los conjuntos reales que son estos objetos, pero no importa).
Las reglas para la formación de una fórmula son los mismos que en la lógica de primer orden, sólo se nos permite cuantificar el exceso de segundo orden variable, y escribir $x\in A$ al $x$ es de primer orden de variables y $A$ es un de segundo orden variable.
Una tarea ahora es una función de la asignación de primer orden de variables de números naturales, y de segundo orden de las variables de conjuntos de números naturales. Ya que estamos hablando de semántica completa, nos permite utilizar cualquier conjunto en el universo.
Si $\sigma$ es una asignación y $\varphi(x_1,\ldots,x_n,A_1,\ldots,A_k)$ es una fórmula (donde $x_i$ son de primer orden y $A_j$ son de segundo orden de las variables), entonces decimos que la $\omega\models_\sigma\varphi(\ldots)$ por recursión exactamente como definimos a la satisfacción de la lógica de primer orden.
Si $\varphi$ es atómica, entonces es de la forma $x\in A$ o de algún plazo $x+y\leq z$ o algo similar a eso. Es cierto si $\sigma(x)\in\sigma(A)$, etc.
Si $\varphi$ es una conjunción/disyunción/material implicación/negación, simplemente aplicamos la verdad de la función en los más pequeños de la fórmula, usando la hipótesis de inducción.
Si $\varphi$ es $\forall x\psi$ donde $x$ es de primer orden de variables, a continuación, $\omega\models_\sigma\varphi$ si y sólo si para cada $n\in\omega$, $\omega\models_{\sigma[x/n]}\psi$ donde asignamos $n$ a los ahora libres de la variable $x$; lo mismo para $\exists x\psi$.
Si $\varphi$ es $\forall A\psi$ donde $A$ es un de segundo orden variable, $\omega\models_\sigma\varphi$ si y sólo si para cada $M\subseteq\omega$, $\omega\models_{\sigma[A/M]}\psi$ donde se le asigna el segundo orden de la variable el valor de $M$. Del mismo modo para los cuantificadores existenciales.
Con todo, esto es exactamente lo que pensamos que debería ser. No funky business pasando. Debo remarcar que hay variantes de segundo orden de la lógica, donde tomaremos una gama limitada de subconjuntos. Por ejemplo, la semántica de Henkin sólo nos permite asignar a segundo orden de las variables de conjuntos que son de primer orden definibles. Esto debilita significativamente la lógica. Pero aquí hablamos de semántica completa, así que todo es un juego justo.
Ahora, a partir de la inducción teorema de la $\sf ZF$ tenemos, de hecho, una fórmula $\sf Sat_2$ que se lleva en una codificación de una fórmula, y una asignación y devuelve si o no la fórmula es verdadera o falsa en $\omega$.
Así que ahora, dado que el $\sf PA_2$ es en realidad finita, nos podemos preguntar si es o no el conjunto de todos los axiomas mantenga en $\omega$. No es difícil verificar que todas las de primer orden axiomas son verdaderos; el segundo orden de inducción axioma es verdadera simplemente porque la definición de "conjunto inductivo" es el mismo en el contexto de $\sf PA_2$ en $\omega$ y en el universo completo (ya que de acuerdo sobre el sucesor y $0$).
Desde $\sf ZF$ demuestra que $\omega$ es de hecho el menor conjunto inductivo, se sigue que cada subconjunto de $\omega$ que es inductivo, es en el hecho de $\omega$ sí. Así que el segundo-orden de inducción axioma sostiene así. Por lo tanto,$\omega\models\sf PA_2$, como quería.
