Existencia de una trayectoria continua que conecta puntos en un plano

Question

He estado dándole vueltas a este problema este fin de semana y, aunque mis investigaciones al respecto me han llevado a otros teoremas interesantes, todavía no estoy cerca de resolverlo.

Para cualquier conjunto de pares de puntos desordenados disjuntos (en $\mathbb{R}^2$ ), llámalo $S$ existe un conjunto de curvas continuas simples que satisfacen las siguientes propiedades:

1. El conjunto de puntos finales de cada curva es un miembro de $S$ y viceversa
2. Si dos curvas pueden intersecarse, entonces la intersección debe ser un punto final de una de las curvas

Siento que pude dar una prueba de esto cuando $S$ era contable utilizando la inducción matemática. Básicamente utilizó el hecho de que el plano permanece conectado cuando $|S|=1$ y si el plano está conectado después de añadir un número de curvas, es posible crear una curva extra que lo mantenga conectado. Así que por inducción si $S$ es contable, entonces las curvas construidas satisfacen las propiedades dadas. Nunca he utilizado la inducción matemática de esta manera, así que no estoy seguro de que sea una prueba válida.

De todos modos, no se me ocurre una forma de demostrar o dar un contraejemplo para un incontable $S$ . Estoy atascado incluso cuando dejo $S$ sea el cuadrado unitario cerrado (con interior) que sospecho falla la conjetura. ¿Y si $S$ ¿ningún lugar es denso? ¿Siempre satisfará eso la conjetura?

Answer 1

Por el Teorema del punto fijo de Brouwer toda función continua $f$ de un subconjunto compacto convexo $K$ de un espacio euclidiano a $K$ tiene un punto fijo". Porque $[0,1]$ es un subespacio compacto y convexo de $\mathbb R$ tu biyección es imposible.

De hecho, si se generaliza hasta $K=[0,1]\times[0,1]$ sigue siendo imposible.

Answer 2

Dejemos que $S=\{c_n=\{x_n,y_n\} \mid n \geq 1\}$ sea un conjunto de pares de puntos disjuntos en $\mathbb{R}^2$ . Por comodidad, dejemos que $C_0= \bigcup\limits_{n \geq 1}c_n$ .

Observe que $\mathbb{R}^2 \backslash C_0$ es un camino conectado, porque entre cualquier punto $x,y \in \mathbb{R}^2 \backslash C_0$ hay un número incontable de trayectorias lineales disjuntas a trozos, mientras que $C_0$ es contable. Sea $X_1$ sea el rango de un camino entre $x_0$ y $y_0$ en $\mathbb{R}^2 \backslash C_0$ .

Por inducción, supongamos que hemos construido $X_n$ tal que $X_n$ es la unión de los caminos que conectan los pares $c_k$ , para $1 \leq k \leq n$ según sea necesario. De nuevo, $\mathbb{R}^2 \backslash (X_n \cup C_0)$ está conectado a la ruta, por lo que puede introducir $X_{n+1}$ como la unión de $X_n$ y el alcance de un camino que conecta $x_{n+1}$ y $y_{n+1}$ en $\mathbb{R}^2 \backslash (X_n \cup C_0)$ .

Por último, establece $X= \bigcup\limits_{n \geq 1} X_n$ . Por construcción, $X$ es una unión disjunta contable de rangos de caminos que conectan los pares $c_n$ . Además, la unión es creciente, por lo que dos curvas no se cruzan (de lo contrario, se intercalarían en algún $X_n$ imposible por construcción).

Añadido: Para un contraejemplo cuando $S$ es incontable, toma $S= ...$ (bajo edición).

Answer 3

Demostración de un contraejemplo cuando $S$ es incontable. Utilizando el plano complejo, dejemos que $S=\{\{e^{i\theta}, e^{i(\theta+\pi)}\}~|~\theta \in [0,\pi) \}$ .

Supongamos que $\mathcal{F}$ es un conjunto de curvas simples que satisfacen la hipótesis.

1. Por hipótesis, si dos curvas se cruzan, el punto de intersección es un punto final de una de las curvas.
2. Hay a lo sumo dos curvas que sólo se cruzan con el círculo en los puntos extremos. Todas las demás curvas deben cruzar el círculo al menos una vez. Esto se ha modelado en la siguiente imagen:

Asumiré este modelo, pero también se puede probar cuando sólo hay $0$ o $1$ que no cruzan el círculo. Sin pérdida de generalidad, hay un número incontable de curvas $\mathcal{F}_1$ que unen "puntos rojos" y cruzan $B_1$ . Del mismo modo, para estos puntos de intersección, $I \subset B_1$ , dejemos que $\mathcal{F}_2$ sea el conjunto de curvas incontables que las unen a $B_2$ y el cruce $R_2$ (sin pérdida de generalidad de nuevo).

$\mathcal{F}' = \mathcal{F}_1 \cup \mathcal{F}_2$ .

Por el teorema del valor intermedio, las curvas en $\mathcal{F}'$ cruzar el $x$ -eje. Para cada punto $p \in I$ Hay dos puntos distintos, $x_1$ y $x_2$ , los puntos correspondientes en el $x$ -(uno para una curva en $\mathcal{F}_1$ y otro para $\mathcal{F}_2$ ). Como las curvas no se cruzan, no hay ningún otro punto de intersección entre $x_1$ y $x_2$ . Sea $x_p$ sea el punto medio de $x_1$ y $x_2$ . Esto forma una biyección entre $x_p$ y $p$ . Cada $x_p$ es aislado y cualquier conjunto de puntos aislados es contable. $^1$ Esto es una contradicción ya que también hay una biyección desde cada función en $\mathcal{F}_1$ a un determinado $p$ .

Por lo tanto, no hay tal $\mathcal{F}$ existe para el $S$ .

$^1$ Uno de los teoremas interesantes que demostré en mis anteriores investigaciones. Me alegro de poder utilizarlo por fin en algún sitio.