Uniforme distribución continua por ciclos.

Question

Vamos a no ser $n$ personas de pie en un círculo y tomados de las manos con una probabilidad de $p$.

¿Cuál es la expectativa de valor de $E(X)$ para el número de 'cadenas' al $p=.5$?

Por lo $p$ es $E(X)$ más grande?

Edit: una cadena se define por dos o más personas, uno junto a otro tomados de la mano.

Answer 1

Hice una breve secuencia de comandos de python para ejecutar una simulación de monte carlo en esta. En esto, supuse que si había un anillo (de modo que todo el mundo tiene las manos), entonces esto podría no ser una cadena. Uno podría hacerlo de la otra manera, pero de esta manera significa que el número de cadenas que se pueden contar por contar el número de subcadenas en el anillo que son iguales a $T,F$.

En estas condiciones se ve como el pico es bastante mucho en $p=0.5$ para todos los $n$. De hecho, el gráfico se ve casi exactamente igual a $np(p-1)$, como uno de los comentaristas de adivinar.

El código, en caso de que usted está interesado, está aquí:

#http://math.stackexchange.com/questions/1359692/uniform-continuous-distribution-for-cycles

import pylab as py
import numpy as np

def noChains(hands):
    hands2 = np.zeros(hands.shape,dtype=bool)
    hands2[:,:-1] = hands[:,:-1] & np.logical_not(hands[:,1:])
    hands2[:,-1]  = hands[:,-1]  & np.logical_not(hands[:,0])
    return np.sum(hands2,axis=1)

fig = py.figure()
ax1 = fig.add_subplot(111)

noPs = 50        
ps = np.linspace(0,1,noPs).reshape((noPs,1))
reps = 10000

for n in [1,2,5,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100]:
    E = np.zeros(noPs)

    for i in range(reps):
        E += noChains(np.repeat(np.random.random(n).reshape((1,n)),noPs,axis=0)<=ps)
    E = E/reps
    ax1.plot(ps,E,"-")
    ax1.text(ps[25],E[25],"$n=%d$"%n)
    print(n,np.argmax(E),ps[np.argmax(E)],np.max(E))
ax1.set_title("$E(X)$ vs $p$ for various $n$")
ax1.set_xlabel("$p$")
ax1.set_ylabel("$E(X)$")
ax1.set_xlim(0.000000,1.000000)
ax1.set_ylim(0.000000,26.000000)


py.savefig("E vs p for n3.png")