Significado físico de la función de partición en QFT

Question

Cuando tenemos la generando funcionalidades $Z$ para un campo escalar

\begin{equation} Z(J,J^{\dagger}) = \int{D\phi^{\dagger}D\phi \; \exp\left[{\int L+\phi^{\dagger}J(x)+J^{\dagger}(x)}\phi\right]}, \end{equation}

la función de partición es $Z(0,0)$ . Sabemos que las derivadas del funcional generador dan el propagador del sistema, y se suele decir que $Z(0,0)$ se relaciona con la energía del vacío, y viene dada formalmente por

\begin{equation} Z(0,0) = \langle 0,t_f|0,t_i \rangle. \end{equation}

¿Cómo representa este elemento de la matriz la energía de vacío del sistema? ¿Tiene que ver con el tamaño de las fluctuaciones entre los tiempos $t_i$ y $t_f$ ? ¿O cuál es otra interpretación de $Z(0,0)$ ?

Answer 1

La función de partición $Z[J]$ tanto en QM como en CM, está infradeterminado: cualquier múltiplo de $Z[J]$ da lugar a la misma dinámica. Esto significa que $Z[0]$ es arbitrario, y normalmente se fija en uno: $$ Z[0]\equiv 1 \tag{1} $$ deshacerse efectivamente de los diagramas de vacío, es decir, establecemos $H|\Omega\rangle=0$ . En otras palabras: la energía del vacío no es medible y se puede fijar en cualquier número que queramos. Sólo podemos medir las diferencias de energías (excepto en la RG), lo que significa que una compensación constante de energías es irrelevante.

El elemento de la matriz $$ \langle 0,t_f|0,t_i\rangle \tag{2} $$ puede interpretarse como la amplitud de acabar con un estado de vacío en el momento $t_f$ si se empieza con el vacío a la vez $t_i$ . O dicho de otro modo, es la amplitud para conseguir nada si inicialmente no se tiene nada. Este número es, naturalmente, uno: $$ \langle 0,t_f|0,t_i\rangle\equiv 1 \tag{3} $$ de acuerdo con $(1)$ .

Answer 2

En términos de diagramas de Feynman, la partición está representada por la suma sobre las llamadas burbujas de vacío - diagramas sin patas externas. En las fórmulas y en términos de la imagen de interacción y el vacío libre $\lvert 0 \rangle$ y el vacío que interactúa $\lvert \Omega \rangle$ tenemos que $$ \lvert \Omega\rangle = \lim_{T\to\infty(1-\mathrm{i}\epsilon)} \left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_\Omega T}\langle\Omega \vert 0\rangle\right)^{-1}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H T}\lvert 0 \rangle$$ y por lo tanto $$ Z = \langle \Omega \vert \Omega\rangle = \lim_{T\to\infty(1-\mathrm{i}\epsilon)} \lvert \langle \Omega\vert 0 \rangle\rvert^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}E_\Omega 2T}$$ Ahora, si escribes $Z$ como $\mathrm{e}^{\sum_i V_i}$ donde $V_i$ es la contribución de las burbujas de vacío de orden $i$ lo ves, esquemáticamente, $\sum_i V_i \propto E_\Omega T$ por lo que la función de partición es la exponencial de la energía del vacío.

Heurísticamente, no debería sorprender que el logaritmo de la función de partición sea la energía del vacío, ya que $Z \sim \langle 0 \rvert\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\int H} \vert 0 \rangle$ así que $\ln(Z) \sim \langle 0\vert T \int H \vert 0 \rangle$ .