Es no probabilística prueba de la desigualdad de $4p(1-p) \leq 1$ para una probabilidad $p$?

Question

Deje $p\in(0,1)$. La desigualdad de $4p(1-p)\leq 1$ es muy fácil y elemental, pero me pregunto si hay un probabilística de la prueba de ello. Por eso, me refiero a la construcción de un "natural" de la probabilidad de espacio y un evento con probabilidad de $4p(1-p)$.

Esto es fácil de hacer si $4p(1-p)$ es reemplazado por $3p(1-p)$ : considerar la posibilidad de tres me.yo.d. variables $(X_1,X_2,X_3)$ con distribución de Bernoulli ${\cal B}(p)$, y considerar el caso de "La $X_i$ no son todos iguales".

Actualización : Una cosa que hace que este problema sea difícil es que no hay un "discreto y finito" de la solución, que involucran sólo a un conjunto de $n$ i.yo.d. variables $X_1,X_2,X_3,\ldots,X_n$ con distribución de Bernoulli ${\cal B}(p)$ (esto es debido a que la desigualdad se convierte en una igualdad exactamente al $p=\frac{1}{2}$).

Answer 1

(Posiblemente insatisfactorio) solución:

Sea X una variable aleatoria binomial con 2 ensayos y la probabilidad de éxito $|1-2p|$. Entonces la probabilidad de que $X \neq 2$$1-|1-2p|^2 = 1 - (1 - 4p + 4p^2) = 4p - 4p^2 = 4p(1-p)$.

En términos de su ejemplo, supongamos $X_1$ $X_2$ ser yo.yo.d. Bernoulli variables con la probabilidad de $|1-2p|$. A continuación, $4p(1-p)$ es la probabilidad de que los dos $X_i$ no son tanto 1.

Answer 2

Solución alternativa:

Si $p \leq \frac{1}{2}$, entonces deja de ser una variable aleatoria binomial con 2 ensayos y la probabilidad de éxito 2p. A continuación,$P(X > 0) = 1 - (1-2p)^2 = 1 - (1 - 4p + 4p^2) = 4p - 4p^2 = 4p(1-p)$.

Si $p \geq \frac{1}{2}$, luego deje $q = 1-p$ y sea X una variable aleatoria binomial con 2 ensayos y la probabilidad de éxito 2q. A continuación,$P(X > 0) = 1 - (1-2q)^2 = 4q(1-q) = 4(1-p)p$.