Cuando se utiliza derivados de la prueba para identificar inyectiva función?

Question

Tengo duda respecto a la primera derivada de la prueba para identificar si una función es inyectiva o no:

Por ejemplo:

$$f(x)=\ln x$$ has domain $(0, \infty)$.

Ahora

$$f'(x)=\frac{1}{x} \gt 0$$ hence $f(x)=\ln x$ es estrictamente creciente y, por tanto inyectiva.

Pero si tenemos en cuenta:

$$f(x)=\tan x$$

$$f'(x)=\sec^2 x \gt 0$$

Pero todavía $\tan x$ no es inyectiva.

Así puedo saber las condiciones formales para probar si una función es inyectiva o no?

Answer 1

En primer lugar, creo que esta es una buena pregunta, que me gustaría que más estudiantes considerados. La función $$ f(x) = \begin{cases}x+5, & x < 0\\ x, & x > 0 \end{casos} $$ tiene un derivado que es siempre positiva ($1$, en realidad), cuando existe. Sin embargo, claramente no es inyectiva. El problema es que el dominio está desconectado, viene en dos piezas separadas como $(-\infty, 0)$ versus $(0, +\infty)$.

El síntoma: el hecho de que usted desea utilizar es realmente el MVT en el disfraz, pero que exige un intervalo como parte de la hipótesis. Y, claro, suficiente, $f$ es inyectiva cuando restringida a cualquier segmento conectado en su dominio. Lo mismo sucede con su $\tan x$ ejemplo.

Finalmente, la respuesta a tu pregunta: es seguro hacer esto cuando la derivada es estrictamente positivo (o negativo) en un intervalo. Además, tener un cero de la derivada no es necesariamente malo, pero tienes que tener cuidado (por ejemplo, $f(x)=x^3$, que todavía es inyectiva).

Answer 2

Cuando se dio la $\log{}$ ejemplo, especificar el dominio sobre el que estás interesado, pero no en el caso de la $\tan{}.$ ¿por Qué no? El dominio de definición de una función es muy importante y debe ser especificado siempre, al menos no en esta situación-es decir, cuando se desea concluir, a partir de la constante de signo de la derivada a la inyectividad. Todo depende del dominio.

Voy a asumir el dominio de $\tan{}$ es la máxima posible, ya que no lo especifica. Ahora, este dominio es diferente de la de la $\log{}$ en que no es un intervalo, sino una unión de intervalos. Esta es la razón por la que la conclusión no se sigue, y el error en la prueba. Si una función tiene un derivado de la constante de signo en un intervalo, entonces es estrictamente monótona durante ese intervalo, y por lo tanto inyectiva allí. Esto es lo que puede ser utilizado de forma segura. Se hace una declaración válida de intervalos, pero no se pronuncia acerca de las uniones de intervalos, por ejemplo.