Proyecciones: El Pedido

Question

Dado un unital C*-álgebra $1\in\mathcal{A}$.

Considere la posibilidad de proyecciones: $$P^2=P=P^*\quad P'^2=P'=P'^*$$

Ordenar por: $$P\leq P':\iff\sigma(\Delta P)\geq0\quad(\Delta P:=P'-P)$$

A continuación, de forma equivalente: $$P\leq P'\iff P=PP'=P'P\iff\Delta P^2=\Delta P=\Delta P^*$$

¿Cómo puedo comprobar esto?

(Operador de la prueba de álgebra?)

Answer 1

La afirmación de $P\leq Q$ medio $Q-P\geq0$. Entonces $$ 0\leq P(Q-P)P=PQP-P\leq P^2-P=P-P=0. $$ Por lo $P=PQP$. Ahora podemos escribir esta igualdad como $$0=P-PQP=P(I-Q)P=[(I-Q)P]^*[(I-Q)P],$$ por lo $(I-Q)P=0$, es decir,$P=QP$. Tomando adjoints, $P=PQ$.

Lo contrario también es: si $P=PQ=QP $,, a continuación, $$Q-P=Q^2-QPQ=Q (I-P)Q\geq0. $$

Edit: para establecer la equivalencia $Q-P\geq0$ fib $Q-P$ es una proyección:

Creo que es más fácil demostrar que $Q-P$ es una proyección iff $P=PQ=QP$ (siendo este último el equivalente a $Q-P\geq0$ por la de arriba).

Si $Q-P$ es una proyección, a continuación,$$Q-P=(Q-P)^2=Q+P-PQ-QP,$$ so $$\tag{1}2P=PQ+QP.$$ Multiplying by $ I-P$ on the left, we get $(I-P)QP=0$, or $QP=PQP$. Taking adjoints, we obtain $QP=PQ$. Now $(1)$ is $2P=2PQ$, i.e. $P=PQ=QP$.

Por el contrario, si $P=QP=PQ$, luego $$ (Q-P)^2=P+P-PQ-QP=Q+P-2P=P-P. $$

Answer 2

Si $Q \ge P$, luego \begin{align} \|Px\|^{2} & =\|QPx\|^{2}+\|(I-Q)Px\|^{2} \\ & = (PQPx,x)+\|(I-Q)Px\|^{2} \\ & \ge (PPPx,x)+\|(I-Q)Px\|^{2} \\ & = \|Px\|^{2}+\|(I-Q)Px\|^{2} \\ \implies & (I-Q)Px=0. \end{align}