La estimación de la Energía Libre de un Kink

Question

En la mecánica estadística, la gente a menudo una estimación de si o no una determinada característica se producirá mediante la estimación de la función de la energía libre. Por ejemplo, en la 1D modelo de Ising, se desea estimar la probabilidad de un kink ocurriendo, o 2D XY modelo, la probabilidad de la formación de un vórtice. Generalmente dicen algo así como:

La energía de un kink es $E$, y puede ocurrir en $N$ diferentes lugares. Por lo tanto, la energía libre de una torcedura es $F=E-TS=E-T\ln(N)$. Si esta es negativa, entonces en un pliegue va a ocurrir, pero si es positiva, entonces un rizo no se producirá.

¿Cómo podemos formalmente a ver que esto es una manera válida de la estimación de la probabilidad de una torcedura? Si yo fuera presentado con este problema y le pidió a encontrar la probabilidad de que un kink, probablemente voy a hacer algo como:

La energía de un kink es E, y puede ocurrir en N diferentes lugares. Por lo tanto, la probabilidad de que un kink es$\frac{Ne^{-\beta E}}{Z}$, según el Boltzmann de la ley. Si este valor es mucho mayor que la probabilidad de que no se pliegue a continuación, una torcedura va a ocurrir, pero si es mucho menor que la probabilidad de no kink, a continuación, un rizo no se producirá.

Pero no veo la conexión entre este método y el método dado en los libros. Me gustaría empezar con muy estadísticos básicos de la mecánica de los hechos, tales como (aquí, $p_i$ es la probabilidad de que el $i$th microestado)

• $p_i=\frac{e^{\beta E_i}}{Z}$

• $F = -T\ln(Z)$

• $F=\sum_i p_i E_i+T\sum_i p_i \ln(p_i)$ es minimizado en equilibrio.

o similares, y a continuación se derivan de la heurística de la regla de uso de la energía libre de las estimaciones.

Answer 1

Imaginen que en lugar de centrarse en cada una torcedura de sitio de forma individual; vive en equilibrio térmico con un baño en la temperatura de la $T$ y por lo tanto tiene dos estados, un estado sin un pliegue con una probabilidad de $\propto 1$, el otro estado con una torcedura de la energía $E$ con una probabilidad de $\propto e^{-E/\tau}.$ por lo Tanto, the kinks son esencialmente fermiones, la probabilidad de que este sitio no tener kink es $$p_0=\frac{1}{1+e^{-E/\tau}}.$$ Para todos los $N$ de los sitios no tener torceduras nos encontramos con una probabilidad de $P_0 = p_0^N,$ un caso especial de lo que sería, para que no interactúan kinks, un general de la distribución binomial. De todos modos por lo tanto, si queríamos una $P_0$ de, digamos, $1/e$, tendríamos que encontrar la temperatura que $$\left(\frac{1}{1+e^{-E/\tau}}\right)^N = \frac1e,$$or,$$1+e^{-E/\tau} = e^{1/N}\approx 1 + \frac1N + \frac12\frac1{N^2}+ \dots.$$ Keeping only the first-order term for large $N$ gives $E = \tau\ln N;$ the effect of choosing a different probability goes like $-\ln(\ln(1/P_0)),$ así que puede tratar como de relativamente poca importancia.

Answer 2

Es un poco torpe para responder en dos ocasiones, pero sería bueno para responder a una parte diferente de su pregunta: ¿por qué la energía libre de ser usado aquí a todos?

Supongamos que algunos macroscópica de la variable $x$ cambios. En este conjunto tenemos un pequeño sistema de $\text s$ que puede compartir con una energía mucho más grande "medio ambiente" sistema de $\text e$. Si es así o no como resultado de este cambio, depende de si se tiene que: tenemos $\delta E_\text e = -\delta E_\text s = -\frac{dE_\text s}{dx}\delta x$ por la conservación de la energía, donde la elección de un total de derivados es totalmente intencional (que es lo que debe ser).

El cambio total en la entropía debido a la variación $\delta x$ está dada por$$ \delta S = \delta S_\texto e + \delta S_\text s \approx \frac1T~\delta E_\texto e + \frac{dS_\text s}{dx} \delta x.$$ Assuming the environment temperature does not change as a result of $\delta x$ we can then find $$\delta S = \delta x~\frac{d}{dx}\left(S_\text s - \frac{E_\text s}{T}\right)=-\frac{\delta x}{T}~\frac{dF}{dx}.$$Suponiendo que el medio ambiente no es un negativo de temperatura, el sistema en su conjunto, por tanto, aumenta la entropía siempre es el que sigue a cualquier tipo de cambio, lo que disminuye la menor correspondientes del sistema de energía libre.

Lo que su argumento está haciendo es establecer el cambio en la energía libre $\Delta F$ debido a que se establece un kink, y luego busca en el signo de este cambio para determinar si el total de la entropía aumenta. Esto también tiene una interpretación en términos de una fuerza entrópica $T~dS_\text s/dx$ equilibrio de la fuerza aplicada $-dE_\text s/dx.$ (Estos dos probablemente debería ser interpretado como generalizada de la fuerza de la Lagrangiana de la mecánica.) Cuando estos se suma a cero, el sistema no le favorece o la desaprobación kinks; cuando la entropía de la fuerza es más grande que el "anti-torcedura de la fuerza", que los costos de energía para producir torceduras, entonces el sistema prefiere que ellos a pesar de su coste de energía; cuando la entropía de la fuerza es menor que el anti-torcedura de la fuerza, el sistema prefiere ser kink-libre.