Demostrando la continuidad de exp(x)

Question

Bueno, mi maestra fue a través de un método de prueba de la continuidad de la $\exp(x)$, lo que no me gusta, así que traté de hacerlo de una manera diferente:

Hemos demostrado el siguiente (que yo uso)

$\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)$

$\exp(0) = 1$

$\exp(x) \geq 1 + x \forall x \in \mathbb{R}$

en primer lugar, puedo demostrar que es continua en $ x = 0$

para $x \leq 0$

$\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$

$\exp(-x) = 1 + (-x) + \dfrac{(-x)^2}{2!} +... = 1 + $ +ve términos de lo $\exp(-x) \geq 1$

por lo $\exp(x) \leq 1$

$\Rightarrow 1 + x \leq \exp(x) \leq 1$ , entonces por el teorema del sandwich $\lim_{x\to0^-}\exp(x) = 1$

para $x \geq 0 $ $-x \leq 0 \Rightarrow 1 - x \leq \exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)} \leq 1$ por subbing en (-x) para el de arriba por lo tanto, si $ 0 \leq x < 1 $ $\dfrac{1}{1-x} \geq \exp(x) \geq 1$ por lo tanto, $\lim_{x\to0^+}\exp(x) = 1$ por lo tanto $\lim_{x\to 0} \exp(x) = 1$, tengo una pregunta, en este punto, puedo considerar que $0 \leq x < 1$ y la conclusión de $\lim_{x\to0+}\exp(x) = 1$?

En movimiento, que muestra de ello es continua para cualquier $c \in \mathbb{R}$

asumir una secuencia $(x_n)$ es un seq. con $x_n \to c$ lo $(x_n - c) \to 0 \Rightarrow \exp(x_n -c) \to 1$ (por la composición teorema de la función, y el paso anterior)

$\exp(x_n) = \exp((x_n -c) + c) = \exp(x_n -c)\exp(c) \to \exp(c) $ ¿cómo puedo concluir a partir de aquí?

Answer 1

Con el axioma de elección se puede probar que existe una función $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$ tal que $f(0)=1$, $f(a+b)=f(a)f(b)$, $f(x)\ge 1+x$ y $f$ no es continua en ningún punto. Por lo que la hipótesis que tiene (aparte de Taylor, que no debería tener), no son suficientes para la conclusión de la prueba.

Sin embargo, si usted ha definido (como ahora veo en los comentarios) $$ \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $$ sólo tienes que notar que $$ \exp(x) = 1 + x \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n!} $$ de dónde para $x\to 0$ $$ |\exp(x) - 1| \le |x| \sum_{n=1}^\infty{|x|^{n-1}} \le |x| \frac{1}{1-|x|} \to 0 $$ y la continuidad en $0$ está probada.

La continuidad en un punto de $x\neq 0$ puede ser derivada como la ha descrito en la pregunta.