La distribución de la relación entre dos variables aleatorias uniformes

Question

Supppse $X$ $Y$ estándar son distribuidos de manera uniforme en $[0, 1]$, y son independientes, ¿cuál es el PDF de $Z = Y / X$?

La respuesta de algunos teoría de la probabilidad de libros de texto es

$$ f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{casos} $$

Me pregunto, por simetría, no $f_Z(1/2) = f_Z(2)$? Este no es el caso según el PDF de arriba.

Answer 1

El derecho de la lógica es que independiente de la $X, Y \sim U(0,1)$, $Z=\frac YX$ y $Z^{-1} =\frac XY$ tienen la misma distribución y por lo tanto para $0 < z < 1$ \begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align} donde la ecuación con CDFs utiliza el hecho de que $\frac YX$ es un variable aleatoria continua y por lo que $P\{Z \geq\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$. Hence the pdf of $Z$ satisface $$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$$ Por lo tanto $f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$, y no $f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$ como pensaba que debería ser.

Answer 2

Esta distribución es simétrica--si usted la mira de la manera correcta.

La simetría (correctamente) observado es que a $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ debe ser idénticamente distribuidas. Cuando se trabaja con proporciones y poderes, que realmente están trabajando en el grupo multiplicativo de los números reales positivos. El análogo de la ubicación de la medida invariante $d\lambda=dx$ sobre el aditivo de los números reales $\mathbb{R}$ es la escala de medida invariante $d\mu = dx/x$ en el grupo multiplicativo $\mathbb{R}^{*}$ de los números reales positivos. Tiene estas propiedades:

1. $d\mu$ es invariante bajo la transformación de $x\to ax$ para cualquier constante positiva $a$: $$d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$$

2. $d\mu$ es covariante en virtud de la transformación de $x\to x^b$ cero números $b$: $$d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$$

3. $d\mu$ es transformado en $d\lambda$ a través de la exponencial: $$d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$$ Likewise, $d\lambda$ is transformed back to $d\mu$ a través del logaritmo.

(3) se establece un isomorfismo entre la medida de los grupos de $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$$(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$. La reflexión $x \to -x$ sobre el aditivo espacio corresponde a la inversión de $x \to 1/x$ sobre el multiplicativo de espacio, debido a que $e^{-x} = 1/e^x$.

Vamos a aplicar estas observaciones por escrito la probabilidad elemento de $Z=Y/X$ en términos de $d\mu$ (entender implícitamente que el $z \gt 0$) en lugar de $d\lambda$:

$$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{casos}$$

Es decir, el PDF con respecto a la medida invariante $d\mu$ $g_Z(z)$, proporcional a $z$ al $0\lt z \le 1$ $1/z$ al $1 \le z$, cerca de lo que había esperado.

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Esto no es una simple truco. La comprensión del papel de $d\mu$ hace que muchas de las fórmulas look más sencillo y más natural. Por ejemplo, la probabilidad de los elementos de la función Gamma con parámetros $k$, $x^{k-1}e^x\,dx$ vuelve $x^k e^x d\mu$. Es más fácil trabajar con $d\mu$ $d\lambda$ al transformar $x$ por reescalado, teniendo poderes, o exponentiating.

La idea de una medida invariante en un grupo es mucho más general, demasiado, y tiene aplicaciones en el área de estadísticas donde los problemas se presentan algunos invariancia bajo grupos de transformaciones (tales como cambios de unidades de medida, las rotaciones en las dimensiones superiores, y así sucesivamente).

Answer 3

Si usted piensa que geométricamente...

En el $X$-$Y$ plano, las curvas de constante $Z = Y/X$ son líneas a través del origen. ($Y/X$ es la pendiente.) Uno puede leer el valor de $Z$ a partir de una línea que pasa por el origen por encontrar su intersección con la línea de $X=1$. (Si alguna vez has estudiado proyectiva del espacio: aquí $X$ es la homogenización de la variable, así que mirando los valores en el segmento $X=1$ es relativamente natural de hacer las cosas.)

Considere la posibilidad de un pequeño intervalo de $Z$s, $(a,b)$. Este intervalo también puede ser discutido en la línea de $X=1$ como el segmento de la línea de$(1,a)$$(1,b)$. El conjunto de líneas a través de el origen de pasar a través de este intervalo se forma un triángulo sólido en la plaza de la $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$, que es la región que estamos realmente interesados en la. Si $0 \leq a < b \leq 1$, entonces el área del triángulo es $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$, por lo que mantener la longitud del intervalo constante y el deslizamiento hacia arriba y hacia abajo de la línea de $X=1$ (pero no más allá de $0$ o $1$), el área es la misma, por lo que la probabilidad de escoger un $(X,Y)$ en el triángulo es constante, por lo que la probabilidad de escoger un $Z$ en el intervalo es constante.

Sin embargo, para $b>1$, el límite de la región de $U$ se aleja de la línea de $X = 1$ y el triángulo truncado. Si $1 \leq a < b$, las proyecciones de las líneas de abajo a través de el origen de $(1,a)$ $(1,b)$ a que el límite superior de $U$ a los puntos de $(1/a,1)$$(1/b,1)$. La resultante área de un triángulo es $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$. De esto podemos ver que la zona no es uniforme y como nos deslizamos $(a,b)$ más y más a la derecha, la probabilidad de seleccionar un punto en el triángulo disminuye a cero.

A continuación, el mismo álgebra se ha demostrado en otras respuestas se termina el problema. En particular, volviendo a la OP a la última pregunta, $f_Z(1/2)$ corresponde a una línea que llega a $X=1$, pero $f_Z(2)$ no, por lo que la simetría deseada no se sostiene.

Answer 4

Sólo para que conste, que mi intuición era totalmente equivocada. Estamos hablando de la densidad, no probabilidad. El derecho de la lógica es la comprobación de que

$$ \int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k}) $$,

y este es realmente el caso.

Answer 5

Sí el enlace de Distribución de una proporción de los uniformes: ¿Qué está mal? proporciona CDF de $Z=Y/X$. El PDF aquí es sólo derivado de la CDF. Así que la fórmula es correcta. Creo que el problema radica en la suposición de que usted piensa que Z es "simétrica" de alrededor de 1. Sin embargo esto no es cierto. Intuitivamente Z debe ser una distribución sesgada, por ejemplo, es útil pensar en cuando Y es un número fijo entre el $(0,1)$ y X es un número cercano a 0, por tanto la relación se va al infinito. De modo que la simetría de la distribución no es cierto. Espero que esto ayude un poco.