e como límite de una secuencia racional en lugar de n

Question

Hola y feliz Año Nuevo para la Stackexchange de la comunidad. Tuve problemas para solucionar este hecho aparentemente trivial problema y sería grande si usted podría ayudarme.

$$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$$

Esta definición de e es dado y quiero mostrar que la siguiente identitiy es cierto.

$$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{q_{n}})^{q_{n}} = e$$

con $q_{n}$ positivo racional de la secuencia que diverge a $+\infty$ (por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} q_{n}=+\infty$).

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Pensé que ya

$$\lim_{n \to \infty} n = +\infty = \lim_{n \to \infty} q_{n}$$

Me podía mover $\lim_{n \to \infty}$ dentro de la expresión dada, por lo que tenemos

$$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{q_{n}})^{q_{n}}=(1+\frac{1}{\lim_{n \to \infty} q_{n}})^{\lim_{n \to \infty}q_{n}} = (1+\frac{1}{\lim_{n \to \infty} n})^{\lim_{n \to \infty} n} = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e.$$

Sin embargo, apperantly, necesito mostrar que la secuencia es continua en orden a ello y en mi curso no introducen la continuidad todavía. Por supuesto, podría probar primero el therom necesaria para mover el límite dentro de la expresión y, a continuación, mostrar la secuencia es continua, pero siento que es mucho más fácil y elegante solución para esto.

Lo siento si esto es un duplicado de una respuesta a una pregunta (al menos yo no pude encontrar uno) y alguna penetración sería apreciada. Muchas gracias.

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Actualización - creo que me las arreglé para resolver por la fuerza bruta, pero me tomó horas y mi prueba es de 2+ páginas de largo. Estoy seguro de que mi prueba no fue el adecuado y debe ser uno más simple. De todos modos, gracias por la ayuda y cuando tengo tiempo, voy a actualizar a esta pregunta con mi solución como referencia.

Answer 1

No es muy difícil establecer lo que usted busca. La función $$f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}$$ for $x \in \mathbb{Q}^{+}$ is an increasing function. This is easy to prove via Bernoulli's inequality. Let $x, y$ be positive rationals with $x > y$ then we have $$\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x/y} \geq 1 + \frac{x}{y}\cdot\frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{y}$$ so that $f(x) \geq f(y)$.

Deje $q_{n}$ ser una secuencia de racionales tienden a $\infty$ y deje $s_{n} = \lfloor q_{n}\rfloor$ e $t_{n} = s_{n} + 1$. Claramente se puede ver que a partir de un cierto valor de $n$ las secuencias de $s_{n}, t_{n}$ son de enteros positivos sólo y ambos tienden a $\infty$. Ahora sabemos que $f(n) \to e$ as $n \to \infty$ y, por tanto, $f(s_{n}), f(t_{n})$ ambos tienden a $e$ as $n \to \infty$. Desde $s_{n}\leq q_{n}\leq t_{n}$ se sigue que $f(s_{n}) \leq f(q_{n})\leq f(t_{n})$ y por el teorema del sándwich $f(q_{n}) \to e$ as $n \to \infty$.

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Nota: esta prueba requiere la versión de la desigualdad de Bernoulli con exponentes racionales.

Answer 2

(comentario largo)

Sugiero una manera(no la única) de aquí. En primer lugar usted puede tratar $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$ como límite de una función $f:\Bbb R\to\Bbb R$, en lugar de una secuencia, hasta el infinito. Así que usted puede escribir $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$ lugar.

Entonces, si usted tiene que admitir que $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$ para ser verdad, entonces usted puede utilizar directamente el famoso teorema, Secuencial Caracterización de los Límites(en particular, la versión de la relacionada con los límites de $x$ va a las $\infty$, si no sabes, búscalo en google!). A continuación, puede obtener al instante que $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{q_{n}})^{q_{n}} = e$ para todos racional secuencia $q_n$ que se bifurca a $\infty$.

PS: me temo que si está permitido sólo para admitir $\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$ pero no $\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e$, luego de que su reclamo no puede ser demostrado, aunque no estoy seguro acerca de esto.