Deje que $ \mathcal {A}, \mathcal {B} $ ser categorías Abelianas, y dejar $ R:\mathcal {A} \to \mathcal {B}$ , $ L:\mathcal {B} \to \mathcal {A}$ sean functores totalmente fieles. Además, asumimos $R$ está justo al lado de $L$ y $R$ también se deja junto a $L$ . ¿Son estas condiciones suficientes para asegurar $R$ es un functor equivalente entre $ \mathcal {A}, \mathcal {B}$ ?
Respuesta
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Sí. De hecho, esto es cierto para cualquier categoría $ \mathcal {A}$ y $ \mathcal {B}$ sólo suponiendo que $L$ y $R$ son functores totalmente fieles que están en conjunción $L \dashv R$ . No es difícil mostrar lo siguiente:
Lemma. Deje que $L \dashv R : \mathcal {A} \to \mathcal {B}$ ser un accesorio.
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$R$ es totalmente fiel si y sólo si el complemento cuenta $ \epsilon : L R \Rightarrow \textrm {id}_{ \mathcal {A}}$ es un isomorfismo natural.
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$L$ es totalmente fiel si y sólo si la unidad de complemento $ \eta : \textrm {id}_{ \mathcal {B}} \Rightarrow R L$ es un isomorfismo natural.
El reclamo es este:
Proposición. Un functor $F : \mathcal {A} \to \mathcal {B}$ es (la mitad de) una equivalencia de categorías si y sólo si $F$ es totalmente fiel y tiene un anexo izquierdo o derecho totalmente fiel.
Prueba. Supongamos que $F$ es totalmente fiel y tiene un adjunto de derecho totalmente fiel $G : \mathcal {B} \to \mathcal {A}$ . Entonces el lema implica $F G \cong \textrm {id}_{ \mathcal {B}}$ y $ \textrm {id}_{ \mathcal {A}} \cong G F$ así que $F$ es en realidad (la mitad de) una equivalencia de categorías. ◼
Aquí hay un ejemplo de lo que sale mal cuando se deja de ser fiel. La categoría terminal $ \mathbb {1}$ con un solo objeto es una categoría abeliana (por razones triviales), y el functor canónico $ \mathcal {A} \to \mathbb {1}$ tiene tanto un anexo izquierdo como un anexo derecho si $ \mathcal {A}$ es una categoría con un objeto inicial y un objeto terminal. Por supuesto, si $ \mathcal {A}$ es una categoría abeliana, entonces los objetos iniciales y terminales coinciden, por lo que las uniones de la izquierda y la derecha de $ \mathcal {A}$ también coinciden.
