Voy a resumir la idea principal pero dejarte algunos detalles. Avísame si también deseas esos detalles.
La idea es contar los pares $(g, \omega)$ donde $g\in G, \omega\in \Omega$, y $g\omega = \omega$, es decir, los pares (elemento del grupo, elemento de $\Omega$ fijo por este elemento del grupo), de dos formas diferentes. $\mathrm{fix}_{\Omega}(g)$ es la notación para el conjunto de elementos de $\Omega$ fijados por un elemento particular del grupo $g$. Aquí están las dos formas de conteo involucradas en la prueba:
Forma número 1: suma sobre los elementos del conjunto $\Omega$; organiza estos elementos por órbita para limpiar la suma.
Cuando fijamos $\omega\in \Omega$, el conjunto de elementos del grupo que fijan $\omega$ es el estabilizador de $\omega$. Entonces la suma se ve así
$$\sum_{\omega\in\Omega} \text{tamaño de}\;\text{estabilizador de}\;\omega$$
Es conveniente desglosar esta suma en órbitas:
$$\sum_{\omega\in\Delta_1}+\sum_{\omega\in\Delta_2}+\dots+\sum_{\omega\in\Delta_t}$$
Cuando se descompone de esta manera, se vuelve posible concluir que el total es $t|G|$. ¿Puedes ver por qué? Este es el paso clave de la prueba. Además, es el único punto en la prueba donde se utiliza la descomposición $\Omega=\Delta_1\cup\Delta_2\cup\dots\cup\Delta_t$.
Forma número 2: suma sobre los elementos del grupo.
Ahora la suma se ve así
$$\sum_{g\in G} \text{número de elementos de}\;\Omega\;\text{fijados por}\;g$$
Pero $\mathrm{fix}_{\Omega}(g)$ es justo el nombre para el conjunto de elementos de $\Omega$ fijados por $g$, entonces esta suma se puede escribir
$$\sum_{g\in G}|\mathrm{fix}_{\Omega}(g)|$$
La prueba se puede completar a partir de aquí.
Ahora me parece que como preguntaste al respecto, en realidad es cierto que $\mathrm{fix}_{\Omega}(g)=\mathrm{fix}_{\Delta_1}(g)\cup\dots\cup\mathrm{fix}_{\Delta_t}(g)$, porque el lado izquierdo es el conjunto de todos los elementos de $\Omega$ fijados por $g$, y el lado derecho es la unión disjunta del conjunto de elementos fijados por $g$ que están en cada órbita individual. Pero la prueba que he delineado aquí no hace uso de esto.
