La frase más utilizada para lo que se quiere es conjunto de racimos (ver aquí también). Véase también la siguiente pregunta/respuesta de Stack Exchange:
Punto de cluster de una función en un punto
Continuidad "débil"
Aunque la idea del conjunto de racimos de una función en un punto parece haber sido considerada por Cauchy (por ejemplo, p. 15 de La traducción de Bradley/Sandifer de la Curso de análisis utiliza la notación $\lim \left(\left(\sin \frac{1}{x} \right)\right)$ para el conjunto de grupos de $\sin \frac{1}{x}$ en $x=0)$ y la idea está ciertamente en el fondo para las cuestiones relacionadas con la Teorema de Casorati-Weierstrass a partir de la década de 1860 (véanse también las páginas 139-166 aquí ), creo que la idea del conjunto de racimos de una función en un punto no se estudió ni se utilizó de forma significativa hasta la década de 1890, cuando Paul Painlevé aplicó esta idea en el estudio de las funciones de valor complejo (utilizando el término área de indeterminación ) y Rodolfo Bettazzi demostró que cada subconjunto cerrado no vacío de los reales es el conjunto de alguna función Baire uno en un punto (es fácil demostrar que el conjunto de cualquier función $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es un subconjunto cerrado no vacío de la recta real extendida). Probablemente no sean las dos únicas personas que hicieron uso de esta idea a finales del siglo XIX, pero (sin que yo dedique tiempo a investigar esta cuestión) son las dos únicas que sé con seguridad que lo hicieron.
Hasta aproximadamente 1960, el estudio y la aplicación de las ideas de los conjuntos de conglomerados siguieron dos caminos esencialmente separados, cada uno de los cuales fue seguido por personas que desconocían casi por completo las actividades de los que seguían el otro camino. Uno de los caminos fue el trabajo realizado por William Henry Young (algunos de los trabajos de Young se describen aquí ), Henry Blumberg y sus alumnos, y algunos otros como Stefan Jan Kempisty , Georges Louis Bouligand , Alexandru Froda , Fedor Isaakovich Shmidov , Frédéric Amédée Emile Roger etc. Los estudios de algunos de estos trabajos incluyen Sobre la estructura simétrica de los conjuntos de puntos incondicionados y las funciones reales de Herbert Charles Parrish (su tesis doctoral de 1955, esencialmente bajo la dirección de Henry Blumberg) y Conjuntos de funciones reales arbitrarias: un estudio parcial de Charles Leonard Belna (1976).
La otra vía, en la que hubo muchas más publicaciones, trataba de las funciones con valores complejos, y algunos de los investigadores más destacados son Wladimir Seidel , Joseph Leo Doob , Alberto Pedro Calderón , Fritz Herzog , Frederick Otto Bagemihl , Edward Foyle Collingwood , Kiyoshi Noshiro etc. Entre los estudios de algunos de estos trabajos se encuentran los dos libros Conjuntos de racimos de Kiyoshi Noshiro (1960) y La teoría de los conjuntos de racimos de Collingwood/Lohwater (1966), y la tesis doctoral de 1969 Introducción a la teoría de conjuntos de racimos por James Reid Calhoun.
Probablemente la "época dorada" de la investigación sobre conjuntos de racimos y sus aplicaciones, si tuviera que elegir una, fue durante los años 60 y 70. Muchas publicaciones durante este período retomaron las generalizaciones a los espacios métricos, uniformes y topológicos, y muchos resultados en el análisis real y complejo se generalizaron a varios escenarios de conjuntos clúster (por ejemplo, el operador límite puede generalizarse para permitir el desprecio de los conjuntos despreciables; en dimensiones mayores que $1$ Los límites pueden tomarse de forma radial o tangencial o por alguna otra aproximación a lo largo de una línea o curva hasta un punto límite, o los límites pueden tomarse dentro de un sector específico con vértice en el punto límite; y otras posibilidades). De hecho, Theodore John Kaczynski's La investigación matemática implica este tipo de conceptos.
La aplicación específica por la que ha preguntado es a la límites posteriores de un cociente de diferencias simétricas. Los términos que se quieren buscar son número derivado o contingente o intervalo de derivación (para la versión derivada ordinaria), y número derivado simétrico (para la versión derivada simétrica; sin embargo, no estoy recibiendo muchas visitas en Google para esto).
En las últimas décadas ha habido un gran número de trabajos sobre Análisis del valor del conjunto en el que se pueden encontrar (entre otros temas) resultados sobre, y aplicaciones a, conjuntos de cluster de varias nociones de cociente de diferencias, para funciones desde y hacia varios tipos de espacios. Por ejemplo, tengo un libro sobre este tema y hay varias revistas dedicadas específicamente a este campo. La literatura para esto es tan grande que, a menos que tengas una pregunta muy específica y haya alguien aquí que esté razonablemente bien informado sobre este campo, yo aconsejaría simplemente buscar en Google las frases apropiadas, tales como "cociente de diferencias simétricas" + "conjunto valorado" .
