diferencia de cuadrados de números consecutivos

Question

Sabemos que la diferencia de cuadrados de dos números consecutivos forma un A.P. de números Impares.

Luego estuve trabajando en números consecutivos y descubrí que si la diferencia de cuadrados de dos números consecutivos es también un cuadrado, entonces uno de los dos números es un múltiplo de 5 o un número primo.

Ahora necesito un contra-ejemplo para este hecho.

Y lo más importante, ¿cómo llegué a eso?

Así que tomé sólo cuadrados perfectos de la A.P. que mencioné anteriormente

Entonces descubrí que si la diferencia es $n$ entonces los números serán $\frac {n+1}{2}$ y $\frac {n-1}{2}$

Así que si $n$ tiene el dígito de unidad 1,4,9,6 entonces uno de los dos números es múltiplo de 5

Ahora me quedan los cuadrados que terminan en 5 o 0 que me dan números primos.

¿Cómo puedo proceder con eso?

¡¡Por favor, ayuda!!

Answer 1

Contra-ejemplo: $1512,1513$ .

Ninguno de ellos es un múltiplo de $5$ .

Ninguno de ellos es un número primo.

Y por supuesto: $1513^2-1512^2=55^2$ .

Answer 2

Si he entendido bien su problema, la solución paramétrica completa viene dada por $$(2n^2+2n+1)^2-(2n^2+2n)^2=(2n+1)^2,$$ donde $n \in\Bbb {Z}.$

Answer 3

Como mostró Nil, las soluciones se obtienen tomando $(2n^2+2n+1,2n^2+2n)$ con $n=5k+2$ ..

Así que las soluciones están dadas por $(50k^2+50k+13,50k^2+50k+12)$ de tal manera que el primer término no es el principal.