El objeto Final en los campos de la característica $ 0 $?

Question

En su respuesta a esta pregunta: Categoría de Campo no tiene objeto inicial, Arturo Madigin indica que el campo de los números racionales es el objeto inicial en la categoría de los campos de la característica $ 0 $.

(También hay una interesante discusión tratando de caracterizar los campos aquí: Ejemplos de los campos de la característica $ 0 $.)

¿La categoría de los campos de la característica $ 0 $ tiene un objeto final? De alguna manera, sería genial si se tratara de los números reales, pero debido a mi limitado de fondo, no me puedo imaginar con hom existencia o singularidad.

Alguna idea?

Answer 1

No. Cualquier morfismos entre los campos es inyectiva, y hay campos de la característica $0$ arbitrariamente grande de cardinalidad.

Answer 2

Dada una categoría donde todos los mapas son monomorphisms, supongamos que hay dos mapas distintos y paralelos $f,g: A\to B$. Entonces cualquier mapa de $h: B\to T$ se producen dos mapas diferentes $h\circ f, h\circ g: A\to T$. En particular, no puede ser un objeto final. También, no puede ser cualquier producto $A\leftarrow P \rightarrow B$ debido a que los dos mapas de $(id_A,f),(id_A,g): A \to P$ tendría que ser iguales y diferentes al mismo tiempo (*).

Para los campos de la característica $0$, tome $A=B=\mathbb{C}$ (los números complejos), el mapa de identidad para $f$, y la conjugación de $g$.

En realidad, esta categoría ha pullbacks. Por lo tanto, si usted ya sabe que no tiene productos, usted también sabe que esto no tiene una terminal de objeto.

(*) He visto este argumento un poco de ejercicio, pero no recuerdo donde.