Por qué es útil un subespacio de un espacio vectorial

Question

Estoy en clase de álgebra lineal y me cuesta entender para qué sirven los subespacios de un espacio vectorial (¡entre otras muchas cosas!). Mi comprensión de un espacio vectorial es que, simplificando, define un plano de coordenadas en el que se pueden trazar puntos y averiguar algunas cosas útiles sobre la relación entre vectores/puntos.

Creo que tengo curiosidad por saber más sobre la aplicación de algunas de estas ideas. Por ejemplo, ¿es un subespacio útil por una razón que no sea que usted no tiene que mirar todo el espacio que existe en algo (supongo que una forma en que he estado pensando en ello es si usted quiere hacer un mapa de una ciudad, no necesariamente tiene que hacer un mapa del estado en que se encuentra) o estoy equivocado acerca de que mucho? Además, aunque creo que debería saberlo a estas alturas, si el subespacio es linealmente independiente, ¿sigue siendo un subespacio? Si lo es, ¿qué es exactamente lo que describe y / o por qué es todavía útil? Si no lo es, ¿sigue siendo útil para algo?

Creo que lo más difícil para mí es que me cuesta visualizar de qué estamos hablando exactamente y me cuesta pensar de forma tan abstracta. Sé que uno o dos ejemplos de esto puede ser demasiado específico y no generalizar el concepto lo suficiente, pero creo que si tengo algún ejemplo para relacionar de nuevo a la hora de aplicar la idea a cosas nuevas que podría ser útil.

Answer 1

Puede ser útil pensar en estos conceptos geométricamente.

En el contexto de nuestro mundo tridimensional, los subespacios pueden considerarse líneas o planos (que pasan por el origen).

¿Por qué nos interesan los subespacios? Una vez más, una imagen geométrica de las transformaciones lineales (que es para lo que modelamos las matrices) nos ayuda con estas ideas. Una transformación lineal (matriz) puede dejar invariantes determinadas rectas: simplemente, mapea la recta a la misma recta, dentro de un factor de escala. Cualquier vector en una línea de este tipo es un vector propio y el factor de escala por el que se amplía o reduce la línea es el valor propio .

Una transformación lineal (matriz) podría, incluso cuando se le da cualquier vector en 3d, sólo escupir vectores en un determinado plano o línea. El conjunto de vectores escupidos de esta manera es el imagen de la transformación, y deberías ver que la dimensionalidad de la imagen es clara a partir de su dimensión geométrica: si la imagen es un plano, entonces la imagen tiene dimensión 2, y así sucesivamente.

Para las entradas a la transformación (matriz), algunas líneas o planos pueden ser totalmente aniquilados por la transformación--la transformación (matriz) los fuerza a cero. Estas líneas o planos forman la núcleo de la transformación (matriz).

Ahora, algo que puede que no te enseñen son enteros aviones que permanecen invariantes bajo una transformación, aunque ninguna línea individual se mantenga invariante. Estos planos pueden estar escalados por algún factor, por lo que pueden considerarse "planos propios". Los mapas de rotación son un ejemplo de transformaciones que dejan invariantes planos enteros sin dejar invariante ninguna línea individual (real) de ese plano.

Answer 2

Un ejemplo, entre muchos, de la utilidad del concepto de subespacios es que él mismo es un espacio vectorial. Por tanto, una vez construido un vectorespacio, se pueden construir muchos más ejemplos considerando su vectorespacio.

Además, nos proporciona una forma sencilla de comprobar que un espacio es un espacio vectorial. En lugar de tener que comprobar todos los axiomas, podemos comprobar que un espacio es un subespacio de un espacio vectorial y concluir que también es un espacio vectorial.

Answer 3

Yo diría que la raíz de que los subespacios sean importantes tiene mucho que ver con las transformaciones lineales:

No es difícil demostrar que el espacio nulo (o núcleo) y la imagen de una transformación lineal son espacios vectoriales (es decir, subespacios del dominio y del codominio, respectivamente).

Dado que estas dos cosas forman en gran parte la base (sin juego de palabras) de la mayor parte del álgebra lineal hasta cierto punto, ser capaz de saber que no es necesario considerar nada salvaje o diferente cuando una transformación lineal no es inyectiva o suryectiva es algo útil.

Answer 4

Los subespacios vectoriales son importantes porque los subobjetos están siempre presentes en las matemáticas:

• Espacio topológico $X$ : Topología subespacial inducida en $Y \subset X$
• Anillo $R$ : Subanillo o $R$ -Submódulo (Anillo Ideal)
• Grupo $G$ : Subgrupo o Submónido o Subsemigrupo
• Monoide $M$ : Submonoide o Subsemigrupo
• Módulo $V$ : Submódulo
  (an $\Bbb{R}$ -es un caso especial de módulo, en el que el anillo escalar es el campo $\Bbb{R}$ (todos los campos son anillos por def.))

Los subobjetos suelen consistir en los subconjuntos que están cerrados bajo todas las ops de la estructura (anillo tiene $2$ ). Sin embargo, los subespacios topológicos son simplemente subconjuntos y se les puede inducir una topología intersecando el subconjunto $Y$ con cada conjunto abierto del espacio madre $X$ .

Luego tenemos grupos topológicos, anillos topológicos, campos topológicos, espacios vectoriales topológicos, etc. Se trata de estructuras en las que están presentes tanto la topología como la estructura algebraica, pero son compatibles en el sentido de que las operaciones que definen la estructura algebraica son también mapas continuos con respecto a la topología.

Una cosa interesante sobre los subobjetos en álgebra es que normalmente se puede tomar un cociente de la estructura $A$ con un subobjeto $B$ para formar $A/B$ que tiene importantes propiedades relacionadas con $A$ y a otras estructuras.

Sea $W \leqslant V$ sea un subespacio de un $\Bbb{R}$ -espacio vectorial $V$ . Entonces, como $W \leqslant V$ forma un subgrupo abeliano aditivo, tomemos el grupo cociente $V/W = \{ v + W : v \in V\}$ bajo la adición obvia y convertirlo en un $\Bbb{R}$ -introduciendo $r \cdot (v + W) := rv + W$ . Demuestre que también es un $\Bbb{R}$ -espacio vectorial. Esa era una posible construcción para un cociente de un espacio vectorial con su subespacio.

Tiene el efecto de "reducir a cero" el subespacio $W$ como $v + W = W = 0 + W = 0_{V/W} \iff v \in W$ .

Si tienes una transformación lineal $T : V \to U$ de $\Bbb{R}$ -entonces $V/\ker{T} \approx {\rm im} T$ es un isomorfismo de espacio vectorial, y la existencia de algún isomorfismo es una idea omnipresente en todas las matemáticas.

Si se tienen dos subespacios vectoriales $W, U \leqslant V$ y además tiene $W \cap U = \{0\}$ y $W + U = V$ entonces $W+U$ se escribe $W\oplus U$ y se denomina descomposición del producto directo de $V$ . Tiene la propiedad de que todos $v \in V$ puede escribirse de una y sólo una manera como $v = w + u, \ \ w \in W, \ u \in U$ Así pues $\Bbb{R}^3 \approx \Bbb{R}e_1 \oplus \Bbb{R} e_2 \oplus \Bbb{R} e_3$ donde $e_i = \{$ algún vector a cero excepto $i$ ª coordenada $\}$ .

No obstante, sólo se trata de propiedades básicas. La verdadera respuesta es profunda.

Answer 5

Es sólo uno de muchos ejemplos: Tienes puntos de datos $(x_i,y_i)$ para $i=1,\ldots,n$ y quieres ajustar una línea $y=\hat ax+\hat b$ por mínimos cuadrados (los "sombreros" --- los diacríticos --- en $\hat a$ y $\hat b$ significa que son estimaciones, basadas en una muestra y no en toda la población). Esto significa que debe elegir $\hat a$ y $\hat b$ para minimizar la suma de cuadrados de los residuos $\hat\varepsilon=y_i - (\hat a x_i+\hat b) = y_i - \hat y_i$ .

Entonces

• El vector $(\hat y_1,\ldots,\hat y_n)$ de "valores ajustados" es la proyección ortogonal del vector $(y_1,\ldots,y_n)$ de los valores observados en el $2$ -dimensional subespacio abarcado por $(x_1,\ldots,x_n)$ y $(1,\ldots,1)$ .
• El vector $(\hat\varepsilon_1,\ldots,\hat\varepsilon_n)$ es la proyección ortogonal del vector $(y_1,\ldots,y_n)$ de los valores observados en el $(n-2)$ -ortogonal al subespacio $2$ -mencionado anteriormente. (Por eso se dice que hay " $n-2$ grados de libertad para el error").
• El hecho de que esos dos subespacios sean ortogonales entre sí, unido a algunas suposiciones habituales sobre la distribución de probabilidad de los errores $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$ (no confundir con los residuos $(\hat\varepsilon_1,\ldots,\hat\varepsilon_n)$ mencionado anteriormente) permite concluir que las variables aleatorias $\hat b$ y $\hat \varepsilon_1^2+\cdots+\hat\varepsilon_n^2$ son independientes entre sí, lo que a su vez se utiliza para hallar un intervalo de confianza para $b$ e intervalos de predicción para futuros $y$ -valores.