¿Por qué la matriz de mezcla de neutrinos (matriz PMNS) debe ser unitaria? ¿La unitariedad viene dictada por los experimentos o es una exigencia teórica?
Es una demanda teórica: $$ \begin{pmatrix} \nu_{e}\\ \nu_{\mu}\\ \nu_{\tau} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U_{e1} & U_{e2} & U_{e3} \\ U_{\mu1} & U_{\mu2} & U_{\mu3} \\ U_{\tau1} & U_{\tau2} & U_{\tau3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_{1}\\ \nu_{2}\\ \nu_{3} \end{pmatrix} $$
Sabes que todos los estados están normalizados, por ejemplo : $\nu_{e}|\nu_{e}=1=(U_{e1}^{*}\nu_{1}|+U^{*}_{e2}\nu_{2}|+U^{*}_{e3}\nu_{3}|)( U_{e1}|\nu_{1}+U_{e2}|\nu_{2}+U_{e3}|\nu_{3} )$
así que
$U_{e1}^{*}U_{e1}+U_{e2}^{*}U_{e2}+U_{e3}^{*}U_{e3}=1$
Se puede hacer lo mismo para toda la matriz y encontrar $U^{+}U=I$
EDIT : como dmckee señaló que es una característica general en la mecánica cuántica, la matriz que se utiliza para cambiar la base (aquí de masa eigenstate a sabor eigenstate) debe ser unitaria.
Realmente va más allá de una demanda teórica en un dominio particular. El operador de evolución temporal para cualquier sistema debe ser unitario, porque eso preserva la probabilidad total en uno. Y la matriz PMNS aparece como un factor en la operación de evolución temporal para la mezcla de neutrinos.
Esto es importante porque si empiezo con algún estado y lo dejo evolucionar durante un tiempo el sistema debe existir después en algunos lo que significa que la suma de las probabilidades tomadas en todos los estados finales debe llegar a la 1. De lo contrario, las cosas pueden sufrir -en palabras de Douglas Adams- "un repentino y gratuito fracaso total de la existencia" .
Tampoco es aceptable empezar con un solo estado y terminar con la probabilidad de existir en uno de todos los estados posibles mayor que uno. ¿Qué significaría eso? ¿Existencia extra repentina y gratuita?
Probablemente esto se mencionó el primer día que se empezó a estudiar mecánica cuántica, pero es tan obvio que los estudiantes a menudo no toman mucha nota de ello.
La matriz PMNS no es un hamiltoniano, pero tienes razón, es más general, cualquier cambio de base observable (aquí de egeinstate de masa a eigenstate de sabor) debe hacerse con una matriz unitaria para que la probabilidad se conserve
¿Qué opina de esta nota en el artículo de la wiki? es.wikipedia.org/wiki/PMNS_matrix#cite_note-1
Oh, ya veo lo que significa, en el modelo del balancín, el $3\times3$ La matriz de mezcla PMNS (de sabor) puede no ser unitaria, pero la matriz de mezcla completa con todos los sabores y los neutrinos LH y RH debe ser unitaria. $3\times3$ El PMNS no tiene por qué ser unitario.
Voy a ofrecer dos razones. En primer lugar, la unitariedad de las matrices de mezcla asegura que las probabilidades suman uno. La probabilidad de que un neutrino oscilante tenga sabor a electrón, muón o tau debe ser igual a uno.
En segundo lugar, como la matriz de masa del neutrino es hermitiana, está diagonalizada por una matriz unitaria.
@innisfree- La matriz de masa del neutrino es no hermético. Si se trata de la matriz de masa efectiva, después del balancín, incluso entonces es en general complejo simétrico pero no hermitiana. Así que tu segundo razonamiento no es aplicable. Sin embargo, una matriz simétrica compleja M puede ser diagonalizada por una transformación unitaria como $D=U^TM U^*$ .
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Si alguna fila o columna al cuadrado suma algo menos que uno (experimentalmente), es una indicación de que nos falta algo, por ejemplo, una cuarta fila/columna correspondiente a una especie adicional de neutrinos.