El valor esperado de la distancia entre dos puntos elegidos al azar en las aristas de un cubo unitario

Question

Considerar la probabilidad de espacio formado por el conjunto de $A$ de las aristas del cubo unitario $[0,1]^3$ en $\mathbb{R}^3$, la correspondiente Borel $\sigma$- álgebra, y la normalizado de la longitud medida. Calcular el valor esperado de la distancia de $2$ distintos puntos elegidos de forma independiente y de manera uniforme en $A$.

Mi intento: sé que el valor esperado se puede calcular como $$\int \int \int \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}\,dx\,dy\,dz. $$ But since the points are all chosen on the edges, then depending on the edge some of coordinates are fixed value, for example $0$ or $1$. Pero hay muchas situaciones, por ejemplo, dos puntos están en el mismo borde, o dos puntos son elegidos en dos articulado de los bordes y etc. ¿Cómo puedo calcular el total del valor esperado?

Ayuda por favor.

Answer 1

Hay cinco casos de simetría. En relación a la arista en la que se encuentra el primer punto, el segundo punto puede mentir sobre (A) el mismo borde, (B) uno de los cuatro bordes adyacentes comparten un vértice (C) uno de los dos bordes opuestos de compartir una cara, (D) el borde opuesto de el cubo, (E) uno de los cuatro bordes.

Así que a la espera de la distancia entre los puntos de $\vec P,\vec Q$ cuando se administra de que independientemente de la mentira en los bordes de la unidad de cubo con una distribución uniforme, es:

$$\newcommand{\vector}[3]{\left[\begin{smallmatrix}#1\\#2\\#3\end{smallmatrix}\right]} \begin{align} \mathsf E(\delta(\vec P,\vec Q)) ~&=~ {\quad\tfrac 1{12}\int_0^1\!\int_0^1 \delta\Bigl(\vector u 0 0,\vector v 0 0 \Bigr)\operatorname d u\operatorname d v \\ + \tfrac 4{12}\int_0^1\!\int_0^1 \delta\Bigl(\vector u 0 0 ,\vector 0 v 0 \Bigr)\operatorname d u\operatorname d v \\ +\tfrac 2{12}\int_0^1\!\int_0^1 \delta\Bigl(\vector u 0 0 ,\vector v 1 0 \Bigr)\operatorname d u\operatorname d v \\ +\tfrac 1{12}\int_0^1\!\int_0^1 \delta\Bigl(\vector u 0 0 ,\vector v 1 1 \Bigr)\operatorname d u\operatorname d v\\ +\tfrac 4{12}\int_0^1\!\int_0^1 \delta\Bigl(\vector u 0 0 ,\vector 0 v 1\Bigr)\operatorname d u\operatorname d v }\end{align}$$

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Donde $\delta\Bigl(\vector{x_1}{y_1}{c_1}, \vector{x_2}{y_2}{z_2}\Bigr) = \sqrt{~{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2+{(z_1-z_2)}^2~}$