Mostrar que cada número de $100!+1,100!+2,100!+3,...,100!+100$ es compuesto

Question

Estoy trabajando en la siguiente Wilson del teorema de ejercicio:

Mostrar que cada número de $100!+1,100!+2,100!+3,...,100!+100$ es número compuesto.

Estoy empezando con: $$100! \equiv -1 \pmod {101}$$

Mis pensamientos acerca de esto es que no puede ser capaz de agregar la cantidad requerida en cada momento para que la congruencia, por lo que para el primer caso se tendría:

$$100! +1\equiv (-1)(+1) \pmod {101}$$ $$100! +1\equiv 0 \pmod {101}$$

Mostrando que $101k=100!+1$ lo $100!+1$ es un número compuesto y yo básicamente el mismo para cada número.

Es eso correcto? Me estoy perdiendo algo? Cualquier sugerencia, ayuda o corrección será muy apreciada.

Answer 1

$101$ es primo por Wilson del teorema $100!\equiv -1\pmod {101}$ lo $100!+1\equiv 0\pmod {101} $ lo $101|100!+1$ .

Para $1 <k\le 100$ simplemente nos nota la $k|100! $ (por definición) y $k|k $ lo $k|100!+k $.

Nota $N! +1$ podría ser el primer para algunos $N $ pero no si $N+1$ es primo. $3!+1=7$ es primo (pero $3+1$ no).

Answer 2

Esto no tiene nada que ver con la del teorema de Wilson. Si $1<k\leq n$ entonces ${n!\over k}\in \mathbb{N}$ y tenemos:

$$ n!+k = k \cdot \underbrace{({n!\over k}+1)}_{>1}$$