Hay un montón de preguntas (y varias buenas explicaciones) en la comprensión de la no-trivial exterior automorphism de $S_6$. Lo que no he visto, sin embargo, es una buena explicación de por qué no hay tales exterior de automorfismos de a $n\neq 6$. Wikipedia hace una mención de este hecho aquí.
En particular, tienen esta críptica afirmación:
Para cada grupo simétrico otros de $S_6$, no hay ninguna otra clase conjugacy de elementos de orden 2 con el mismo número de elementos como la clase de transposiciones.
Esto parece como la cosa más natural que probar, dado el conocimiento que se puede construir un exterior automorphism de $S_6$ que se lleva a transposiciones a los productos de tres transposiciones (es decir, cosas como $(12)\mapsto (12)(34)(56)$.) También, la segunda razón por la Wikipedia da no se siente muy intuitiva para mí.
Mi pregunta, entonces, es ¿cómo hace uno para justificar el original (citado) declaración anterior?
Aquí está el ingenuo cálculo de los tamaños de las clases conjugacy: Debemos demostrar que cuando se $n, k\neq 6,3$ $$\frac{n!}{2^k k! (n-2k)!}\neq\frac{n!}{2(n-2)!},$$which is equivalent to $$2^k k!(n-2k)!\neq 2(n-2)!$$
Lo que quiero decir es algo así como, si $n{-}2$ es mayor que $k$, luego siempre hay algún factor en el lado derecho que no aparecen en el lado izquierdo (excepto cuando es una potencia de dos). ¿Este tipo de análisis me lleve a nada, o hay una mejor manera de pensar acerca de esto?