¿Por qué nos preocupan los conjuntos perfectos?

Question

Cuando oí por primera vez el nombre de conjunto `perfecto', pensé que se trataría de conjuntos especialmente bonitos que aparecen mucho. Quizá sea porque no he analizado mucho, pero parece que los conjuntos perfectos se presentan, se puede demostrar un teorema curioso sobre su incontabilidad en ciertos espacios, y luego ya está y no vuelven a aparecer.

¿Por qué le importan a alguien los conjuntos perfectos? ¿Qué tienen de especial?

Answer 1

Se puede demostrar que los subconjuntos perfectos en espacios métricos separables tienen tamaño continuo (es decir. $|\mathbb{R}|$ también denominado $2^{\aleph_0}$ o $\mathfrak{c}$ ) y que todo subconjunto cerrado de un espacio métrico completo separable (también llamado espacio polaco para abreviar, en honor de los muchos matemáticos polacos que trabajaron en esta teoría, una mezcla de teoría de conjuntos y topología (métrica), llamada teoría descriptiva de conjuntos) es o bien contable o bien la unión de un conjunto contable y un conjunto perfecto no vacío, por lo que tiene tamaño $\aleph_0$ o $2^{\aleph_0}$ . Esta dicotomía de tamaño también es válida para todos los conjuntos de Borel (el más pequeño $\sigma$ -sobre un espacio polaco que contiene todos los conjuntos abiertos) y esto también se demuestra utilizando conjuntos perfectos: los conjuntos incontables de Borel de Polonia contienen copias homeomórficas del conjunto de Cantor, un espacio/conjunto perfecto bastante ubicuo. De hecho, esto puede extenderse también a los llamados conjuntos analíticos. Muchos de los conjuntos que los matemáticos utilizan en la práctica, por ejemplo, en las pruebas, etc., son conjuntos de Borel o conjuntos analíticos y, por tanto (utilizando conjuntos perfectos, indirectamente), la hipótesis del continuo se cumple para dichos conjuntos. Esto "explica" en cierto modo por qué esa hipótesis parece tan plausible a muchos matemáticos (aunque resulta ser indecidible por los axiomas habituales de la teoría de conjuntos).

Así que los conjuntos perfectos, especialmente los conjuntos de Cantor, son una idea importante en algunas ramas de la topología/teoría de conjuntos, como la teoría descriptiva de conjuntos. Pero uno no se encuentra con ella muy a menudo, a menos que estudie ese campo más a fondo. AFAIK no se utiliza mucho en ramas aplicadas (como ecuaciones diferenciales, o física). Es bueno conocerlo, tiene una bonita teoría y bellas propiedades (el espacio de Cantor es uno de mis favoritos también). "perfecto" es más un homenaje a eso creo yo. La palabra perfecto se utiliza en otras partes de la topología con otro significado (perfectamente normal..), así que cuidado. También existen los "mapas perfectos", estrechamente relacionados con la compacidad.