Extensión(es) finita(s) de $\mathbb{Q}^{\text{ur}}_p$ la extensión máxima no ramificada de $\mathbb{Q}_p$

Question

Durante una discusión con un profesor mío, mencionó por casualidad que hay una única extensión ramificada cuadrática y cúbica de la Extensión Máxima No Ramificada de $\mathbb{Q}^{\text{ur}}_p$ (para $p \neq 2,3$ ), siendo $\mathbb{Q}^{\text{ur}}_p[\sqrt{p}]$ y $\mathbb{Q}^{\text{ur}}_p[\sqrt[3]{p}]$ respectivamente. Me preguntaba si alguien podría explicar esto o indicarme algún libro o apuntes donde se hable de esto. Y también si hay una forma de clasificar las extensiones finitas de $\mathbb{Q}^{\text{ur}}_p$ .

Answer 1

Su profesor simplificó la situación (no dijo ninguna mentira, se lo aseguro) limitándose al caso del grado $2$ y $3$ . La historia está íntimamente ligada al fenómeno de la ramificación mansa: una extensión totalmente ramificada es mansa si su grado es primo a $p$ . Para las extensiones de Galois finitas que son mansas, digamos con grupo $\Gamma$ , recibes una inyección de $\Gamma$ en el grupo multiplicativo del campo de residuos, de modo que $\Gamma$ será necesariamente cíclica. Mi principal fuente para esto es el capítulo IV de la obra de Serre Corps Locaux/Campos Locales . Es antigua, pero no es probable que tenga una mejor, ya que Serre es Serre.

Answer 2

De ello se deduce que $|.|_p$ se extiende de forma única al campo local $\Bbb{Q}_p^{ur}$ (sus enteros son un DVR porque el índice de ramificación es $=1$ en particular es finito) y que $1/2$ así $ {1/2 \choose n}$ es el $p$ -límite de una secuencia de números enteros para que $(1+x)^{1/2} = \sum_{n=0}^\infty {1/2 \choose n} x^n$ converge para $|x|_p < 1$ .

Si $[K:\Bbb{Q}_p^{ur}]=2$ entonces $K/\Bbb{Q}_p^{ur}$ es totalmente ramificado de grado $d=2$ , dejemos que $O_K = \{ x \in K, |x|_p \le 1\}$ y $\pi_K$ un uniformizador, debemos tener $\pi_K^d = u p$ para algunos $u \in O_K^\times$ Por lo tanto $u^{-1} \in \zeta_m (1+\pi_K O_K)$ , dejemos que $x = \zeta_m^{-1} u^{-1}-1$ entonces $|x|_p< 1$ para que $u^{-1/2} = \zeta_m^{1/2} (1+x)^{1/2} \in O_K^\times$ lo que implica $\varpi_K^2 = p$ donde $\varpi_K = \pi_K u^{-1/2} \in O_K$ es también un uniformizador, es decir $ \varpi_K = \pm p^{1/2}$ , $K =\Bbb{Q}_p^{ur}(p^{1/2})$ .