Suma de primos al cuadrado es igual a un primo al cuadrado

Question

Encuentra todos los $p_1,\dots,p_8$ de modo que $$ p_1^2+\dots+p_7^2 = p_8^2 $$ Lo que he hecho hasta ahora:
Dado que un número impar $n$ tiene $n^2 \equiv 1$ (mod $4$), entonces las únicas dos posibilidades son si $2$ o $6$ de los primos de la izquierda son $2$. Cuando $6$ de ellos son $2$, entonces encontré una solución cuando $p_7 = 5$ y $p_8=7$. Sin embargo, no puedo resolver el otro caso. Llegué a $$ p_3^2 + p_4^2 + p_5^2 + p_6^2 + p_7^2 = p_8^2-8 $$ pero eso es todo. No puedo encontrar una forma de encontrarlos todos o demostrar que no existen.

Answer 1

Como sugiere el usuario113102, si $n$ es impar, entonces $n^2 \equiv 1 \bmod 8$. Por lo tanto, en la ecuación $$p_3^2 + p_4^2 + p_5^2 + p_6^2 + p_7^2 = p_8^2 - 8$$ donde todos los $p_i$ son primos impares, el LHS es congruente a $5$ mod $8$ y el RHS es congruente a $1$, por lo que no hay solución.

Es fácil ver, por lo tanto, que la solución $p_1 = \cdots = p_6 = 2, p_7 = 5, p_8 = 7$ es la única solución al caso general, ya que valores más grandes de $p_7$ y $p_8$ darían $p_8^2 - p_7^2 > 24$.