En una reciente pregunta que le hice, Claude Leibovici tenido una buena respuesta. Sin embargo, yo no entiendo una parte cuando dice "[la resolución de la ecuación] se requieren métodos numéricos". ¿Cuáles son estos "métodos numéricos" y cómo puedo utilizarlo para resolver mi problema? Para referencia, pongo la siguiente ecuación: $$x^2 \sin (2 \pi x)=33 \sin \left(\frac{66 \pi }{x}\right)$$ estoy centrado principalmente en intergral soluciones.
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user26872
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$\def\e{\varepsilon} \def\d{\delta}$Aquí es otro enfoque para encontrar soluciones aproximadas. Definir $$f(x) = x^2\sin 2\pi x - 33\sin \frac{66\pi}{x}.$$ Queremos encontrar los ceros de $f(x)$.
Para las pequeñas $x$, $f(x)\approx -33\sin 66\pi/x$, los ceros para que se \begin{align*} x_n = \frac{66}{n} \tag{1} \end{align*} para $n$ un entero. Este número entero debe ser grande para que la técnica sea auto consistente, $n\gg 66$. Se puede demostrar que un gran $n$ el error en esta aproximación es de orden $1/n^5$. De hecho, si $X_n$ es el verdadero cero más cercano a$x_n=66/n$, uno puede mostrar que $X_n-x_n\approx (-1)^{n+1}1149984/n^5$.
Para grandes $x$ debemos buscar ceros cerca de los ceros de $\sin 2\pi x$, ya que en el límite de $\sin 66\pi/x\approx 66\pi/x\rightarrow 0$. Para la integral de la $n$, ampliamos $f(n/2+\e)$ para las pequeñas $\e$ a la orden lineal, establecer el resultado igual a cero y resolver para $\e$. Nos encontramos \begin{align*} \e \approx \e_n \equiv \frac{66}{\pi} \frac{ n^2 \sin \frac{132\pi}{n}}{(-1)^n n^4+17424\cos\frac{132\pi}{n}}.\tag{2} \end{align*} Para $n$ muy grande nos encontramos con \begin{align*} \e \approx \e_n' \equiv (-1)^n\frac{8712}{n^3}.\tag{3} \end{align*} Por lo tanto, los ceros de $f(x)$ grandes $x$ están dadas por $$x_n \approx \frac{n}{2}+\e_n \approx \frac{n}{2}+\e_n'.$$ Esperamos que la aproximación a$x_n = n/2+\e_n'$ a funcionar bien si $n\gg 132\pi$. Si $X_n$ es el verdadero cero más cercano a$x_n=n/2+\e_n'$, uno puede mostrar que $X_n-x_n\approx (-1)^{n+1}25299648/n^5$.
A continuación dibujamos $f(x)$ y algunos de la predicción de ceros utilizando las aproximaciones anteriores.
Anexo
Ha quedado claro para mí a partir de los comentarios que esta pregunta es acerca de encontrar exacto entero soluciones, no todas las soluciones reales. Si $x$ es un número entero inmediatamente nos ha $\sin 2\pi x=0$ y así el problema se reduce a la solución de $\sin 66\pi/x=0$ donde $x$ es un número entero. Por lo tanto, $66\pi/x=n\pi$ para algunos entero $n$ e lo $x=66/n$. Las soluciones serán los divisores de $66$, por lo que $x=\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm11,\pm22,\pm33,\pm66$. Tenga en cuenta que en realidad hay un número infinito de soluciones reales, pero sólo un número finito de enteros soluciones de esta ecuación.
Más generalmente, si queremos resolver $$x^2\sin 2\pi x=a\sin\frac{N\pi}{x},$$ donde $N$ es un número entero, por entero $x$ nosotros de nuevo sólo debe satisfacer $\sin N\pi/x = 0$ y así $x= N/n$ donde $n$ es un número entero, es decir, $x$ es un divisor de a$N$. El problema es fundamentalmente acerca de factoring $N$. Esto se puede hacer a mano o mediante el uso de software. Aquí es un punto de partida para aprender acerca de la factorización de enteros.
milhouse
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21
¿Cuáles son estos "métodos numéricos"
Métodos numéricos referirse a un conjunto de técnicas matemáticas que permiten a uno para encontrar una solución aproximada de problemas tales como su problema y el de muchos otros, tales como el área de cálculo, ecuaciones diferenciales, donde no es conocido o fácil de aplicar "forma cerrada". Todos estos métodos el uso repetido los cálculos en lugar de los pasos de la lógica algebraica.
Métodos numéricos son grandes, ya que puede ser programado, por lo tanto automatizar la solución de algunos problemas. Sin embargo, pueden producir resultados diferentes exactitud. Algunos valores se puede aproximar mejor por el aumento del número de iteraciones (cálculos).
Para la solución de la ecuación hay diferentes métodos tales como:
1-Interseccion Método.
2-Posición Falsa El Método.
3-Newton-Raphson Método De
Usted puede encontrar muchas referencias a la anterior, por ejemplo: Métodos Numéricos-Ejemplos.
Maximilian Janisch
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No hay ninguna manera analítica de la solución de esta ecuación. Esto significa que no hay una buena manera de representar una solución de esta ecuación mediante el uso de funciones básicas.
Un método numérico es una serie de cálculos, generalmente realizadas por un equipo, que generan una secuencia de números que (con suerte) la aproximación de la solución exacta mejor y mejor. Por ejemplo, un ordenador podría intentar aproximar la raíz de $x^2 \sin (2 \pi x)-33 \sin \left(\frac{66 \pi }{x}\right)$ utilizando el método de Newton.
Véase, por ejemplo, las soluciones numéricas de que Wolfram Alpha da.
hoppa
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2180
Aquí es una solución que utiliza el de Newton–Raphson método.
Tenemos la función
$$f(x) = x^2\sin\left( 2\pi x\right) - 33\sin\left( \frac{66\pi}{x}\right)$$
Gráco muestra que este es un gran periódico y oscilatorio de la función y tiene muchos ceros.
El método de Newton-Raphson iteración se da
$$g(x) = x- \dfrac{f(x)}{f'(x)} = x+ \frac{33 x^2 \sin \left(\frac{66 \pi }{x}\right)-x^4 \sin (2 \pi x)}{2 x^3 (\sin (2 \pi x)+\pi x \cos (2 \pi x))+2178 \pi \cos \left(\frac{66 \pi }{x}\right)} $$
Permite seleccionar un $x_0 = 0.204$, e iterar $g(x)$
$x_0 = 0.2040000000000000, g(x_0) = 32.89911766050774$
$x_1= 0.2018314436615791, g(x_1) = 0.6130866300979277$
$x_2 = 0.2018350942149161, g(x_2) = -0.00005275314444857377$
$x_3 = 0.2018350939008396, g(x_3) = 4.02178290670463*10^{-14}$
$x_4 = 0.2018350939008396, g(x_4) = 4.02178290670463*10^{-14}$
$x_5 = 0.2018350939008396, g(x_5) = 4.02178290670463*10^{-14}$
Así, la raíz de lo que se reunieron en es (intentar otra raíz y ver lo que usted consigue)
$$x_5 = 0.2018350939008396$$
Una partida diferente valor converge a una raíz diferente o no de la raíz a todos.
Por último, para el entero de las soluciones de la ecuación original, intente
$$x = 1, 2, 3, 6, 11, 66$$
