Calcule una transformada de fourier de inverso del polinomio$\frac{1}{Q(x)}$

Question

Estoy trabajando con el Ejercicio 4 del Capítulo 4, Stein & Shakarchi "Análisis Complejo".

El problema es

Supongamos $Q$ es un polinomio de grado$\geq2$ con distintas raíces, ninguno acostado sobre el eje real. Calcular $$F(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{-2\pi i x \xi}}{Q(x)}\ dx,\space\xi\in\mathbb R$$ en términos de las raíces de la $Q$. ¿Qué sucede cuando varias raíces coinciden?

Para $\xi=0$, me acerqué por el residuo usando la fórmula de la mitad superior del círculo de $C_R^+$ e $R\to\infty$ para la primera suma y $C_R^-$ para la segunda suma y obtuvo la siguiente: $$\dfrac{F(0)}{2\pi i} = \sum_{\Im(s_i)>0} \operatorname{Res}\dfrac{1}{Q(z)}=-\sum_{\Im(s_i)<0} \operatorname{Res}\dfrac{1}{Q(z)} $$ donde $s_i$'s son distintas raíces de $Q$. Creo que no hay una mejor representación de este uso de $Q(x)=A\prod(x-s_i)$ por lo que puedo conseguir un "transformada de Fourier" fórmula de $\frac{1}{Q(x)}$, pero no puedo ir más allá.

Para $\xi<0$ e $\xi>0$, me parece que debe utilizar $C_R^+$ e $C_R^-$ , respectivamente, pero eso es todo. Yo no sé acerca de la función de coincidencia de varias raíces también.

¿Cómo puedo obtener algunos significativa fórmulas para este problema?

Editar Gracias por las sugerencias y la respuesta. Utilizando todo lo que tengo por $\xi\geq 0$, $$ F(\xi) = -2\pi i \sum_{\Im(s_i)<0} \operatorname{Res} \dfrac{e^{-2\pi i x \xi}}{Q(x)} = -2\pi i \sum_{\Im(s_i)<0} \dfrac{e^{-2\pi i s_i \xi}}{Q'(s_i)} $$

donde la segunda igualdad se mantiene cuando $Q(x)$ tiene distintas raíces y $Q'(s_i)=A\prod_{s_j\neq s_i}(s_j-s_i)$. También para $\xi\leq 0$,

$$ F(\xi) = 2\pi i \sum_{\Im(s_i)>0}\operatorname{Res} \dfrac{e^{-2\pi i x \xi}}{Q(x)} = 2\pi i \sum_{\Im(s_i)>0} \dfrac{e^{-2\pi i s_i \xi}}{Q'(s_i)} $$

Para múltiples raíces, el residuo de la fórmula de $\frac{1}{Q(z)}$ donde $Q(z)=A\prod(z-s_i)^{r_i}$ sería diferente, pero de nuevo no puedo enfoque. El residuo de la fórmula para $n$-ésimo orden polos requiere de $(n-1)$-los tiempos de la diferenciación, y siento que esta ruta directa es demasiado sucio. ¿Cómo puedo abordar esto?

Answer 1

Su presunción de que $C_R^+$ e $C_R^-$ puede ser utilizado en combinación con el residuo de la fórmula cuando se $\xi<0$ e $\xi>0$, respectivamente, es la correcta. En el caso de $\xi>0$, se puede parametrizar $C_R^+$ por $$t\rightarrow Re^{it}=R(\cos(t)+i\sin(t)),\ t\in(0,\pi)$$ y estimación \begin{align*} \bigg| \int_0^\pi\frac{e^{-2\pi i R (\cos(t)+i\sin(t))\xi}}{Q(R e^{it})} iRe^{it}dt \bigg| \leq \int_0^\pi\bigg|\frac{e^{2\pi R \sin(t)\xi}}{Q(R e^{it})}R \bigg|dt \rightarrow 0\ \text{as }R\rightarrow \infty\quad (\text{since }\xi<0). \end{align*} En consecuencia, se obtiene a través de la fórmula de residuos \begin{align*} F(\xi) = 2\pi i \sum_{Im(s_i)>0}{{\mathrm{Res}}_{x=s_i}\frac{e^{-i2\pi x \xi}}{Q(x)}}. \end{align*} El uso de la sugerencia de el comentario de arriba, usted puede calcular estos residuos.