Existencia de integrales impropios.

Question

Quiero mostrar que la integral impropia $$\int_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x(1+x)}dx$$ exists. In order to do that, I split the integral into $\int_0^1 \frac{\sin(x)}{x(1+x)}dx + \int_1^{\infty} \frac{\sin(x)}{x(1+x)}dx$, so that I can compute a value for $\int_0^1 \frac{\sin(x)}{x(1+x)}dx$, lo que demuestra la existencia de esa parte.

Por otra parte, es suficiente para mostrar que $\int_1^{\infty} \frac{\sin(x)}{x(1+x)}dx < \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$ saber que $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$ existe, decir que $\int_1^{\infty} \frac{\sin(x)}{x(1+x)}dx$ existe y por lo tanto el conjunto de la integral impropia existe? Gracias por la respuesta de antemano.

Answer 1

$\sin x$ puede ser negativo en $[1,\infty)$ , así que $\int_1^\infty\frac{\sin x}{x(1+x)}\,dx < \int_1^\infty\frac1{x^2}\,dx$ no es del todo correcto. Lo que puede decir, según el teorema de compresión, es que $$\left|\int_1^\infty\frac{\sin x}{x(1+x)}\,dx\right|\le\int_1^\infty\frac1{x(1+x)}\,dx\le\int_1^\infty\frac1{x^2}\,dx$ $ y como la última integral converge, también lo hace la integral más a la izquierda sin los signos de valor absoluto.

Answer 2

Desde $\mathcal{L}(\sin x)=\frac{1}{s^2+1}$ e $\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{x(x+1)}\right)=1-e^{-s}$ hemos $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x(x+1)}\,dx = \frac{\pi}{2}-\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{(s^2+1)e^s} $$ donde la última integral es claramente positivo, pero limitado por $$\sqrt{\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{(s^2+1)^2}\int_{0}^{\infty}\frac{ds}{e^{2s}}}=\sqrt{\frac{\pi}{8}}$$ por el Cauchy-Schwarz desigualdad. $\frac{\pi}{2}-\sqrt{\frac{\pi}{8}}$ es una brusca aproximación del valor real de la integral; una cruda y mucho más elemental bound puede ser obtenido mediante la integración de $0\leq \frac{\sin x}{x(x+1)} \leq \frac{1}{x+1}$ sobre $(0,1]$ e $\frac{|\sin x|}{x(x+1)}\leq\frac{1}{x(x+1)}$ sobre $[1,+\infty)$.