Maximizando el área entre una función y su aproximación lineal.

Question

Deje $f: [a, b] \to [0, 1]$ ser un monótonamente creciente en función y $y_f: [a, b] \to \Bbb R,\,\,x \mapsto \alpha x + \beta$ la correspondiente aproximación lineal con constantes $\alpha$, $\beta \in \Bbb R$. Por medio de la presente, los coeficientes de $\alpha$ e $\beta$ se determina mediante la minimización de la

\begin{align} \int_a^b (f(x) - y_f(x))^2 dx. \end{align}

Yo derivados de los valores de las constantes. Ellos son de la forma

\begin{align} \alpha = \alpha_1 \int_a^b f(x) dx + \alpha_2 \int_a^b x f(x) \end{align}

y

\begin{align} \beta = \beta_1 \int_a^b f(x) dx + \beta_2 \int_a^b x f(x), \end{align}

con $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$ e $\beta_2$ , dependiendo únicamente de la $a$ e $b$.

El área encerrada por $f$ e $y_f$ está dado por

\begin{align} A(f) = \int_a^b |f(x) - y_f(x)|dx. \end{align}

Mi pregunta:

Cómo probar que se tiene para el valor máximo de la zona

$\max(\{A(f), f: [a, b] \to [0, 1], \,\,f\,\,\text{monotonously increasing}\}) = \frac{1}{4}(b - a)$?

Este es el valor de $A(f)$ para la función de $f(x) = \theta(x - (\frac{1}{2} (b - a) + a))$ que asumo que para dar el máximo valor de $A(f)$. En otras palabras, estoy buscando la función que tiene la mayor desviación de su aproximación lineal.

Answer 1

Debido a las modificaciones de $f$ sobre los conjuntos de medida cero no cambian $A(f)$, sin pérdida de generalidad que uno puede restringir el derecho continuas $f$. Tal $f$ puede considerarse como funciones de distribución acumulativa de la no-negativos de las medidas de la masa total $\le1$ (es decir, "sub-probabilidad" de medidas) en $[a,b]$. Llamar a este conjunto de medidas y/o correspondientes cdf $C$. El conjunto $C$ es compacto en la topología débil, la función de $C:f\mapsto A(f)$ es continua en la topología débil en $C$, lo $A$ alcanza el máximo en $C$. Y $C$ es convexo: es el casco convexo de la probabilidad de medidas en $[a,b]$ y el cero de la medida en $[a,b]$; sus puntos extremos corresponden a la unidad de punto de masas en $[a,b]$ y el cero de la medida, es decir, las funciones $\mathbb 1_{[h,b]}$ para $h\in[a,b]$ y el cero de la función $\mathbb 1_\phi$.

Pero $A$ también es convexa en $C$. Esto se deduce porque el mapa $f\mapsto f-y_f$ es lineal (porque el mapa $f\mapsto (\int_a^b f(x)dx,\int_a^b xf(x)dx)$ es lineal), y porque el mapa $g\mapsto \int_a^b|g(x)|dx=\|g\|_1$ es convexa. Desde $A(f)=\|f-y_f\|_1$ es una función convexa compuesto con una función lineal de la $f$, es convexa, demasiado.

Desde $A$ es convexa y continua en $C$ que alcanza su máximo en un punto extremo de $C$, es decir, en función de $f=\mathbb 1_{[h,b]}$ para algunos $h\in[a,b]$. (O el cero de la función $\mathbb 1_\phi$, lo cual es un punto extremo de $C$ pero ha $A(\mathbb 1_\phi)=0$.)

Para terminar el trabajo a un lado el argumento debe mostrar que el valor de la(s) $h$ maximiza esto, pero yo aún no la tienen. Preliminares de experimentos numéricos muestran que los valores de $h$ cerca de $.25$ e $.75$ son mejores que los de $h=1/2$. En particular, cuando se $[a,b]=[0,1]$, estos valores vienen: $A(\mathbb 1_{[.5,1]})\approx 0.208333332$ e $A(\mathbb 1_{0.7657,1]})\approx0.25149765$.