La energía de la norma. ¿Por qué se llama de esa manera?

Question

Deje $\Omega$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$. El siguiente

$$\lVert u \rVert_{1, 2}^2=\int_{\Omega} \lvert u(x)\rvert^2\, dx + \int_{\Omega} \lvert \nabla u(x)\rvert^2\, dx$$

define una norma en $H^1(\Omega)$ espacio, que es a veces llamada energía de la norma.

No me siento muy fácil con el significado físico de este nombre sugiere. En particular, veo a dos no-homogénea de cantidades, $\lvert u(x)\rvert^2$$\lvert \nabla u(x)\rvert^2$, siendo sumados. ¿Cómo puede ser esto físicamente coherente?

Tal vez algún ejemplo me podría ayudar aquí. Gracias.

Answer 1

Cuando u es el campo de velocidad de un líquido viscoso, incompresible homogénea de líquidos con densidad se establece en 1, la primera integral es proporcional a la energía cinética del flujo del fluido. La segunda integral se llama enstrophy (ver Wikipedia).

Enstrophy es en esta situación algo diferente de energía, por lo tanto el término "energía" de la norma" es un poco engañoso. Para un viscuous de flujo descrito por las ecuaciones de Navier-Stokes, la enstrophy mide la rapidez con que el flujo de fluido se disipa energía debido a la fricción, es posible mostrar en algunas leves supuestos que $$ \frac{d}{dt} \text{energía} = - \text{viscosidad} * \text{enstrophy} $$ Así que, físicamente hablando, el líquido fluye con energía finita finita enstrophy son precisamente aquellos cuyos campos de velocidad son elementos de $H^1$. Y físicamente muy interesante de flujos de fluidos debe tener finito enstropy para que el proceso de pérdida de energía debido a la fricción es descrito por el modelo.

Answer 2

Para ampliar mi comentario (ver, por ejemplo, http://online.itp.ucsb.edu/online/lnotes/balents/node10.html):

La expresión que se da puede ser interpretado como la energía de una $n$-dimensiones elástica colector de ser alargado en la $n+1$ dimensión (por ejemplo, para $n=2$, membrana en tres dimensiones); $u$ es el campo de desplazamiento.

Permítanme volver a poner las unidades $$E[u]= \frac{a}{2}\int_{\Omega} \lvert u(x)\rvert^2\, dx + \frac{b}{2} \int_{\Omega} \lvert \nabla u(x)\rvert^2\, dx.$$ The first term tries to bring the manifold back to equilibrium (with $u=0$), el segundo término penaliza a los rápidos cambios en el desplazamiento. La energía es no homogénea y consiste en una escala de longitud característica $$\ell_\text{char} = \sqrt{\frac{b}{a}}.$$ Esta es la escala sobre la cual el colector vuelve de nuevo a su nivel de equilibrio (en el espacio) si alargada en algún momento. Con $b=0$, el colector de regresaría de inmediato, se alargan en algún momento, e infinitamente cerrar el colector está de vuelta en $u=0$. Con $a=0$ el colector nunca volvería a $u=0$. Sólo la competencia entre las $a$ $b$ conduce a la física que se espera para elástica colector. Esta competencia está íntimamente relacionada con el hecho de que no es una característica de la longitud de escala que aparecen.

Es importante que las leyes físicas son no homogéneos, con el fin de tener carácter escalas de longitud (como $\ell$ en tu ejemplo, el radio de Bohr para el hidrógeno problema, $\sqrt{\hbar/m\omega}$ para el oscilador armónico cuántico, ...). La energía de los sistemas sólo se convierten en escala invariante en la vecindad de las transiciones de fase de segundo orden. Este es un fuerte en la condición de la energía funcionales en la medida en que la gente clasifica todas las posibles transiciones de fase de segundo orden.