Demuestre que no puede escribir$\sqrt[3]{4}$ como$a+b\sqrt[3]{2}$

Question

Demuestre que no puede escribir $\sqrt[3]{4}$ como $a+b\sqrt[3]{2}$ , con $a,b \in \Bbb Q$

¿Cómo puedo probarlo? Traté de elevar al cubo pero entonces? $4 = a^3+ 3a^2b \sqrt[3]{2} + 3ab^2\sqrt[3]{4}+ 2b^3$

Answer 1

Supongamos por contradicción que $\sqrt[3] 4 = a + b \sqrt[3] 2$. Luego nos cubo de ambos lados, para obtener el $4 = a^3 + 3a^2b \sqrt[3] 2 + 3ab^2 \sqrt[3] 4 + 2b^3$. Tenemos que $4, a^3, 2b^3$ son todos racionales, por lo que también tiene $3a^2b \sqrt[3] 2 + 3ab^2 \sqrt[3] 4 = q$ para algunos racional $q$. Pero $\sqrt[3] 4 = (\sqrt[3] 2)^2$, por lo que obtenemos una ecuación cuadrática en $\sqrt[3] 2$ con coeficientes racionales, lo que implica que $\sqrt[3] 2$ puede ser escrito como algunos $c \pm \sqrt d$. Claramente $d$ es distinto de cero desde $\sqrt[3] 2$ es irracional, por lo que cubicación ambos lados de nuevo obtenemos $c^3 \pm c^2 \sqrt d + cd \pm d\sqrt d = 2$, lo que implica que $(c^2+d) \sqrt 2$ es racional. Pero $c^2+d$ es racional, y $\sqrt 2$ no es, produciendo una contradicción.

Answer 2

Escribamos $x=2^{1/3}$ . Luego, la declaración que se mostrará como falsa, que presumiremos verdadera para obtener una contradicción, puede escribirse $$x^2=a+bx$$for some rational $ a$ and $ b$. Then$$2=x^3=xx^2=ax+bx^2=ab+(a+b^2)x.$$Since $ x$ is irrational (the proof of which is very similar to the proof that $ \ surd2$ is irrational), it follows that $ a + b ^ 2 = 0$. From this we get $ x ^ 2 = -b ^ 2 + bx$, or$ $x^2-bx+b^2=0.$ $But this quadratic equation has no real root (in $% x$ or in $ b $ ) -una contradicción.