Integrable en el sentido extendido: pregunta sobre la definición de Spivak "Cálculo sobre colectores".

Question

En Spivak "Cálculo de los Colectores" él construye el concepto de integración en un incremento de la moda:

• Comienza por la definición de la integral de la $\int_R f$ en un rectángulo R;

• A continuación se define el concepto de función característica: \begin{equation} X_C = 1 \text{ if }x\in C \text{ else } 0. \end{equation} Y el uso de este concepto para generalizar la definición de la integral de una región $C$, mediante la definición de $\int_C f = \int_R f \cdot X_C$ para $C$ contenida en un rectángulo $R$. Este concepto funciona para todos los casos cuando el C límite tiene medida 0 y $X_C$ es integrable (ver teorema 3-9 de la en el mismo libro).

• Define las particiones de la unidad para generalizar este concepto aún más. Utilizando el concepto de partición de la unidad que define la integral en el sentido amplio como: \begin{equation} \sum_{\phi \in \Phi}\int_A\phi \cdot f \end{equation} donde $\Phi$ es una colección de funciones que $\phi \in \Phi$. Algunas propiedades de estas funciones se describen a continuación

Ser $A$ una servidumbre región y $O$ y abra la cubierta, puede ser demostrado que (ver teorema 3-11 del mismo libro) existe una colección de $\Phi$ de $C^\infty$ funciones:

• $0 \le\phi(x) \le 1$
• Un número finito de $\phi(x)$ es diferente de cero en un conjunto abierto que contiene $x \in A$
• $\sum_{\phi \in \Phi} \phi(x) = 1$
• Para cada una de las $\phi \in \Phi$ existe un conjunto abierto $U \in O$ tal que $\phi=0$ fuera de algunas conjunto cerrado contenido en $U$. Llamamos a este conjunto cerrado $C$.

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Así que mi pregunta es: ¿cómo podemos demostrar $\int_A\phi \cdot f$ es integrable?

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Mi comprensión acerca de la cuestión es la siguiente: a partir De la definición anterior se deduce que $\int_A\phi \cdot f = \int_C\phi \cdot f$. Así que si $C$ límite tiene una medida de $0$ se podría utilizar la anterior definición de la integración para decir que esta función es integrable en esta región...Pero ¿cómo podemos demostrar que este es realmente el caso?

Answer 1

Estudié de Cálculo en los Colectores de este año, y en esta sección, me encontré con que su tratamiento fue un poco descuidado. En primer lugar, hay un gran error en la totalidad de la sección de particiones de la unidad: en propiedad ($4$) del Teorema $3$-$11$, "... fuera de algunas conjunto cerrado contenido en $U$", la palabra "cerrado" debe ser reemplazado con "compacto". Así, la propiedad (4) puede expresarse de otra manera, equivalentemente, por lo que requiere que el apoyo de $\varphi$ ser un subconjunto compacto de $U$, donde el apoyo se define como la topológicos de la clausura del conjunto de puntos donde la $\varphi$ es distinto de cero. \begin{equation} \text{supp}(\varphi) := \overline{\{ x \in \mathbb{R^n}: \varphi(x)\neq 0\}}. \end{equation}

A continuación, para definir el extendido integral, creo que esta es una mejor definición (es casi el mismo, pero hay algunas diferencias sutiles):

Definición/Proposición:

Deje $A$ ser un subconjunto de $\mathbb{R^n}$, $\mathcal{O}$ admisible de apertura de la tapa para $A$, e $\Phi$ ser $\mathcal{C^0}$ partición de la unidad, por $A$ subordinada a $\mathcal{O}$, con soporte compacto. Deje $f: A \to \mathbb{R}$ ser localmente delimitado función (cada punto tiene una vecindad en la que $f$ es limitado) tal que $\mathcal{D}_f$, el conjunto de discontinuidades de $f$ tiene medida cero. A continuación, para cada $\varphi \in \Phi$, el de las integrales \begin{equation} \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot |f| \qquad \text{and} \qquad \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot f \end{equation} existen de acuerdo a la definición anterior (la que implica la característica de funciones). Definimos $f$ a ser integrable en $A$, en el amplio sentido si \begin{equation} \sum_{\varphi \in \Phi} \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot |f| \end{equation} converge. En este caso, definimos \begin{equation} (\text{extended}) \int_{A} f = \sum_{\varphi \in \Phi} \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot f \end{equation}

Las dos diferencias son: I sólo se requiere de $\Phi$ a $\mathcal{C^0}$, no $\mathcal{C^{\infty}}$, y en segundo lugar, me puse $\displaystyle \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot |f|$ en lugar de $\displaystyle \int_{A} \varphi \cdot |f|$. La razón por la que hice el segundo cambio es debido a que el propósito de esta definición es la de definir la integración en un conjunto abierto (que puede ser ilimitado), así que la escritura $\displaystyle \int_{A} \varphi \cdot |f|$ no está aún definido en base a todas las viejas definiciones. Sin embargo, esto no es un gran negocio, ya que más adelante podemos demostrar que \begin{equation} (\text{extended})\displaystyle \int_{A} \varphi \cdot |f| = (\text{old}) \displaystyle \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot |f| \end{equation} Pero, desde un punto de vista lógico, no debemos usar el símbolo $\displaystyle \int_A \varphi \cdot f$ en una definición donde estamos tratando de definir el significado de la integración en $A$ (tenga en cuenta que tenemos que utilizar otra partición de la unidad $\Psi$ a sentido de la LHS de arriba).

Prueba de $\displaystyle \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot f $ existe de acuerdo a la definición anterior:

Para probar esto, tenemos que mostrar que $\varphi f$ está acotada en un rectángulo $R$ contiene supp$(\varphi)$, y que $\varphi f \cdot \chi_{\text{supp}(\varphi)}$ es integrable en $R$. Para demostrar acotamiento, tenga en cuenta que para cada una de las $x \in \text{supp}(\varphi)$, desde el $f$ es localmente acotada, existe un abierto de vecindad $V_x$ de $x$, y un número de $M_x > 0$ tal que $|f| \leq M_x$ a $V_x$. La colección de todos los $V_x$ forma una cubierta abierta de $\text{supp}(\varphi)$, por lo tanto, por la compacidad, hay un número finito de subcover, dicen por $V_{x_1}, \dots, V_{x_k}$. A continuación, $f$ está delimitado por $M = \max \{M_{x_i} \}_{i=1}^k$ en supp($\varphi$). Desde $\varphi = 0$ fuera de $\text{supp}(\varphi)$, se deduce que el $\varphi \cdot f$ está delimitado por todas partes (por $M$).

A continuación, vamos a $R$ ser un rectángulo cerrado que contenga $\text{supp}(\varphi)$. Es fácil comprobar que \begin{align} \varphi f \cdot \chi_{\text{supp}(\varphi)} = \varphi f \tag{*} \end{align} (porque fuera de esta, ambos lados se $0$). También, desde la $f$ tiene una discontinuidad conjunto de medida cero, y desde $\varphi$ es continua, se sigue que $\varphi f \cdot \chi_{\text{supp}(\varphi)} = \varphi f$ también tiene una discontinuidad conjunto de medida cero; por lo tanto $\varphi f \cdot \chi_{\text{supp}(\varphi)}$ es integrable en $R$ de acuerdo a la primera definición. Esto demuestra $\displaystyle \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot f$ existe de acuerdo a la definición anterior. Mediante la sustitución de $f$ con $|f|$ todas partes, se puede ver que $\displaystyle \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot |f|$ también existe de acuerdo a la definición anterior.

Observaciones:

• Observe que debido a que de (*), no importa si es o no el límite de $\text{supp}(\varphi)$ tiene medida cero. $\varphi \cdot f$ es integrable en $\text{supp}(\varphi)$ , de todos modos.
• Observe que, por definición, $\text{supp}(\varphi)$ es el cierre de un conjunto y, por tanto, cerrada. Pero esto no es suficiente, necesitamos que sea compacto, por lo que el acotamiento argumento anterior funciona.
• Si $V \subset A$ es un delimitada conjunto abierto que contiene $\text{supp}(\varphi)$, a continuación, $\displaystyle \int_V \varphi \cdot f$ existe de acuerdo a la definición anterior; este debe ser inmediata ya que $\displaystyle \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot f$ ya se ha demostrado que existe. En este caso, \begin{equation} \int_V \varphi \cdot f = \int_{\text{supp}(\varphi)} \varphi \cdot f \end{equation}

Answer 2

Spivak salta a menudo muchos pasos y usted tiene que leer cada frase que conducen a un teorema cuidadosamente.

La discusión de la definición y la convergencia de la extensión de la integral de la $\sum_{\phi \in \Phi}\int_A\phi \cdot f$ utiliza el hecho de que la integral de la $\int_A \phi \cdot f$ existe. Esto a su vez se basa en los supuestos indicados en la primera frase de la página 65:

Una cubierta abierta $\mathcal{O}$ de un conjunto abierto $A \subset \mathbb{R}^n$es admisible si cada una de las $U \in \mathcal{O}$ está contenido en $A$.

Tenga en cuenta que $A$ se supone que para ser abierto y $\mathcal{O}$ se supone que para ser admisible, lo que significa que $A$ es cubierto por la apertura de los subconjuntos $U \subset A$.

Spivak va a decir:

Si $\Phi$ está subordinado a $\mathcal{O}$, $f:A \to \mathbb{R}$es delimitada en algún conjunto abierto alrededor de cada punto de $A$, y $\{x: f \text{ es discontinua en } x\}$ has measure $0$, then $\int_A \phi \cdot |f|$ existe.

Implícito en esta afirmación es la existencia de $\int_A \phi \cdot f$ lo que implica la existencia de $\int_A \phi \cdot |f|$.

Dado que $A$ es abierto y $\mathcal{O}$ es admisible, se puede proceder a probar la existencia de la integral. Desde $\Phi$ está subordinado a $\mathcal{O}$, para cada una de las $\phi \in \Phi$ hay algún conjunto abierto $U \in \mathcal{O}$ y algunas conjunto cerrado $F$ tal que $F \subset U \subset A$ e $\phi = 0$ fuera de $F$.

Por lo tanto, $\phi \,$ se desvanece en $A \setminus U,$ e $\int_{A \setminus U} \phi \cdot f$ existe independientemente de la medida de la frontera de A. También se $\phi \cdot f$ se desvanece en el límite de $U$ y es continua en casi todas partes en $U$ (desde $\phi \in C^\infty$ con soporte compacto en $U$). Por lo tanto, $\int_U \phi \cdot f$ existe y, a pesar de la Jordan-medición de la $A$, se deduce que

$$\int_A \phi \cdot f = \int_U \phi \cdot f + \int_{A \setminus U} \phi \cdot f$$

Spivak, a continuación, define el $f$ a ser integrable en el sentido amplio si $\sum_{\phi \in \Phi} \int_A \phi \cdot |f|$ (con $\phi$ dispuestos en una secuencia) converge. Desde $\left| \int_A \phi \cdot f\right| \leqslant \int_A \phi \cdot |f|$, la serie $\sum_{\phi \in \Phi} \int_A \phi \cdot f$ es absolutamente convergente.

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