Diferencia entre gradiente y derivada.

Question

Mi pregunta puede ser un poco estúpida, pero esta mañana he intentado explicar el gradiente a alguien, y hace un paralelismo con la derivada de la función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ . Lo que dice es que para una función $f:\mathbb R\to \mathbb R$ el gradiente y la derivada son iguales. Estoy de acuerdo en que el valor escalar es el mismo, pero no estoy seguro de que el significado detrás sea el mismo.

Por ejemplo, tome $f(x)=x^2$ . Para mí el gradiente de $f$ va a ser el campo vectorial $\nabla f(x)=2x\cdot 1$ , donde $1$ es la base de $\mathbb R$ Así que debería ser así

mientras que la derivada $f'(x)$ es realmente el índice de la función, y si fuera un campo vecteur, sería un campo vectorial sobre el rango de $f$ y no en el dominio de $f$ como el gradiente. ¿Qué opinas?

Para ilustrar, diría que el campo de la derivada está en rojo y azul, y el gradiente está en rosa.

Answer 1

Conceptualmente, se puede definir la derivada de una función $f: V \rightarrow W$ en un punto $p\in V$ (donde $V$ y $W$ son espacios vectoriales de Banach) como un operador lineal $f'(p) \in L(V,W)$ tal que: $$ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{||f(p+h)-f(p)-f'(p)\cdot h||_W}{||h||_V} = 0 $$ A continuación se puede definir la derivada de $f$ (sin especificar un punto) como una función $f' : V \rightarrow L(V,W)$ .

El gradiente se puede definir para una función $f: M\rightarrow \mathbb R$ , donde $M$ es una variedad riemanniana con métrica $g$ . El gradiente de una función $f$ en un punto $p\in M$ es un vector $\nabla f(p) \in T_{p}M$ tal que para cualquier curva $\gamma :\mathbb R\ni t \mapsto \gamma(t) \in M$ con $\gamma(0) = p$ tienes $$ g\Big(\nabla f(p), \frac{d\gamma}{dt}(0)\Big) = (f\circ\gamma)'(0)$$ donde $\frac{d\gamma}{dt}$ es un vector tangente a la curva $\gamma$ . Por lo tanto, el gradiente (sin especificar un punto) es un campo vectorial $\nabla f: M\rightarrow TM$ .

Si $V=M=\mathbb R^n$ y $W=\mathbb R$ entonces $T_pM \cong L(V,W)$ y tanto la derivada como el gradiente pueden ser definidos y si existen serán iguales entre sí.

En el caso aún más especial de que $V=\mathbb R$ en cada punto $p$ Además, puede identificar $T_pM \cong \mathbb R$ y definir la función $f' : \mathbb R\rightarrow \mathbb R$ . Sin embargo, tradicionalmente se ve el gradiente como una función vectorial $\nabla f: \mathbb R \rightarrow T\mathbb R$ . Así que, aunque estoy de acuerdo en que las flechas rosa/morado son una representación adecuada del gradiente de $f(x)=x^2$ representaría la derivada como una gráfica de la función $f'(x) =2 x$ .